Полиномы Аски – Вильсона

В математике полиномы Аски-Уилсона (или q -полиномы Вильсона ) представляют собой семейство ортогональных полиномов, введенных Ричардом Аски и Джеймсом А. Уилсоном как q-аналоги полиномов Вильсона . Они включают многие другие ортогональные полиномы от 1 переменной в качестве особых или предельных случаев , описанных в схеме Аски . Полиномы Аски-Уилсона являются частным случаем полиномов Макдональда (или полиномов Курнвиндера ) для нередуцированной аффинной корневой системы типа ( C ^∨
₁ , C ₁ ), а их 4 параметра a , b , c , d соответствуют 4 орбитам корней этой корневой системы.

Они определяются

$p_{n}(x)=p_{n}(x;a,b,c,d\mid q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]$

где φ — базовая гипергеометрическая функция , x = cos θ и (,,,) _n — символ q -Похгаммера . Функции Аски-Вильсона являются обобщением нецелых значений n .

Доказательство

Этот результат можно доказать, поскольку известно, что

$p_{n}(\cos {\theta })=p_{n}(\cos {\theta };a,b,c,d\mid q)$

и используя определение символа q -Похгаммера

$p_{n}(\cos {\theta })=a^{-n}\sum _{\ell =0}^{n}q^{\ell }\left(abq^{\ell },acq^{\ell },adq^{\ell };q\right)_{n-\ell }\times {\frac {\left(q^{-n},abcdq^{n-1};q\right)_{\ell }}{(q;q)_{\ell }}}\prod _{j=0}^{\ell -1}\left(1-2aq^{j}\cos {\theta }+a^{2}q^{2j}\right)$

что приводит к выводу, что оно равно

$a^{-n}(ab,ac,ad;q)_{n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&ae^{i\theta }&ae^{-i\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]$

См. также

• Схема Аски

Ссылки

• Аски, Ричард ; Уилсон, Джеймс (1985), «Некоторые основные гипергеометрические ортогональные полиномы, обобщающие полиномы Якоби» , Мемуары Американского математического общества , 54 (319): iv+55, doi : 10.1090/memo/0319 , ISBN  978-0-8218-2321-7 , ISSN   0065-9266 , МР   0783216
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Аски-Уилсона» , в Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Коорнвиндер, Том Х. (2012), «Полином Аски-Уилсона», Scholarpedia , 7 (7): 7761, Bibcode : 2012SchpJ...7.7761K , doi : 10.4249/scholarpedia.7761