Оператор Дельта

В математике дельта -оператор — это сдвиг-эквивариантный линейный оператор. $Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]$ на пространстве полиномов векторном от переменной $x$ над полем $\mathbb {K}$ это уменьшает степень на единицу.

Сказать это $Q$ является сдвиг-эквивариантным означает, что если $g(x)=f(x+a)$, затем

${(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,$

Другими словами, если $f$ это «сдвиг» $g$, затем $Qf$ это тоже сдвиг $Qg$и имеет тот же «вектор сдвига» $a$.

Сказать, что оператор уменьшает степень на единицу, означает, что если $f$ является полиномом степени $n$, затем $Qf$ либо является полиномом степени $n-1$, или, в случае $n=0$, $Qf$ равен 0.

Иногда дельта-оператор определяется как линейное преобразование, эквивалентное сдвигу полиномов из $x$ это отображает $x$ до ненулевой константы. Эта последняя характеристика, кажущаяся более слабой, чем определение, данное выше, можно показать, что она эквивалентна изложенному определению, когда $\mathbb {K}$ имеет нулевую характеристику , поскольку сдвиг-эквивариантность является достаточно сильным условием.

Примеры

• Оператор прямой разности

$(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,$

является дельта-оператором.

• Дифференцирование по x , записанное как D , также является дельта-оператором.
• Любой оператор формы

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}$

(где Д ^н (ƒ) = ƒ ^{( н )} это н ^й производная ) с $c_{1}\neq 0$ является дельта-оператором. Можно показать, что все дельта-операторы можно записать в такой форме. Например, приведенный выше оператор разности можно расширить как

$\Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.$

• Обобщенная производная исчисления шкалы времени , которая объединяет оператор прямой разности с производной стандартного исчисления, представляет собой дельта-оператор.
• В информатике и кибернетике под термином «дельта-оператор дискретного времени» (δ) обычно понимают разностный оператор.

${(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},$

обычной приближение Эйлера производной с дискретным шагом расчета $\Delta t$. Дельта-формулировка получает значительное количество численных преимуществ по сравнению с оператором сдвига при быстрой выборке.

Основные полиномы

Каждый дельта-оператор $Q$ имеет уникальную последовательность «базовых полиномов», полиномиальную последовательность, определяемую тремя условиями:

• $p_{0}(x)=1;$
• $p_{n}(0)=0;$
• $(Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ for all }}n\in \mathbb {N} .$

Такая последовательность основных полиномов всегда имеет биномиальный тип , и можно показать, что других последовательностей биномиального типа не существует. Если первые два условия выше опустить, то третье условие говорит, что эта полиномиальная последовательность является последовательностью Шеффера — более общей концепцией.

См. также

• Производная Пинчерле
• Оператор смены
• Теневое исчисление

Ссылки

• Никольский, Николай Капитонович (1986), Трактат об операторе сдвига: теория спектральной функции , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-15021-5

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Оператор Дельта» . Математический мир .