Исчисление шкалы времени

В математике , исчисление шкалы времени представляет собой объединение теории разностных уравнений с теорией дифференциальных уравнений объединяющее интегральное и дифференциальное исчисление с исчислением конечных разностей , предлагая формализм для изучения гибридных систем . Он находит применение в любой области, требующей одновременного моделирования дискретных и непрерывных данных. Он дает новое определение производной, так что если дифференцировать функцию, определенную для действительных чисел, то это определение эквивалентно стандартному дифференцированию, но если использовать функцию, определенную для целых чисел, то это эквивалентно оператору прямой разности .

История

Исчисление шкалы времени было введено в 1988 году немецким математиком Стефаном Хильгером . Однако подобные идеи использовались и раньше и восходят, по крайней мере, к введению интеграла Римана – Стилтьеса , который объединяет суммы и интегралы.

Динамические уравнения

Многие результаты, касающиеся дифференциальных уравнений, довольно легко переносятся на соответствующие результаты для разностных уравнений, в то время как другие результаты кажутся совершенно отличными от своих непрерывных аналогов. Исследование динамических уравнений во временных масштабах выявляет такие расхождения и помогает избежать двойного доказательства результатов — один раз для дифференциальных уравнений и второй раз для разностных уравнений. Общая идея состоит в том, чтобы доказать результат для динамического уравнения, в котором областью определения неизвестной функции является так называемая шкала времени (также известная как набор времени), которая может быть произвольным замкнутым подмножеством действительных чисел. Таким образом, результаты применимы не только к набору действительных чисел или набору целых чисел, но и к более общим временным шкалам, таким как набор Кантора .

Тремя наиболее популярными примерами исчисления во временных масштабах являются дифференциальное исчисление , разностное исчисление и квантовое исчисление . Динамические уравнения во временном масштабе имеют потенциал для применения, например, в динамике населения . Например, они могут моделировать популяции насекомых, которые непрерывно развиваются в течение сезона, вымирают зимой, пока их яйца инкубируются или находятся в состоянии покоя, а затем вылупляются в новом сезоне, создавая непересекающуюся популяцию.

Формальные определения

Шкала времени (или цепочка мер ) — это замкнутое подмножество реальной линии. $\mathbb {R}$. Общее обозначение общей шкалы времени: $\mathbb {T}$.

Два наиболее часто встречающихся примера масштабов времени — это действительные числа. $\mathbb {R}$ и времени дискретная шкала $h\mathbb {Z}$.

Отдельная точка на шкале времени определяется как:

$t:t\in \mathbb {T}$

Операции на временных шкалах

Операторы перехода вперед, назад и зернистости в дискретной шкале времени.

Операторы перехода вперед и назад представляют ближайшую точку на шкале времени справа и слева от заданной точки. $t$, соответственно. Формально:

$\sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}$ (оператор сдвига вперед/прыжка)

$\rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}$ (оператор обратного сдвига/прыжка)

Зернистость ​ $\mu$ — это расстояние от точки до ближайшей точки справа, определяемое по формуле:

$\mu (t)=\sigma (t)-t.$

Для правоплотного $t$, $\sigma (t)=t$ и $\mu (t)=0$.
Для левой плотности $t$, $\rho (t)=t.$

Классификация очков

Несколько точек на шкале времени с разными классификациями

Для любого $t\in \mathbb {T}$, $t$ является:

• останется плотным, если $\rho (t)=t$
• правильно плотный, если $\sigma (t)=t$
• оставил разбросанным, если $\rho (t)<t$
• прямо разбросано, если $\sigma (t)>t$
• плотный, если плотный и слева, и справа плотный
• изолирован, если рассеяны как слева, так и справа

Как показано на рисунке справа:

• Точка $t_{1}$ плотный ​
• Точка $t_{2}$ слева плотный , а справа рассеянный
• Точка $t_{3}$ изолирован ​
• Точка $t_{4}$ слева рассеянный , а справа плотный

Преемственность

Непрерывность шкалы времени переопределяется как эквивалент плотности. Говорят, что шкала времени непрерывна справа в точке $t$ если оно плотно справа в точке $t$. Аналогично, шкала времени называется непрерывной слева в точке $t$ если он остается плотным в точке $t$.

Производная

Возьмите функцию:

$f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,$

(где R может быть любым банаховым пространством , но для простоты установлено на действительную линию).

Определение: Дельта-производная (также производная Хильгера). $f^{\Delta }(t)$ существует тогда и только тогда, когда:

Для каждого $\varepsilon >0$ существует район $U$ из $t$ такой, что:

$\left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|$

для всех $s$ в $U$.

Брать $\mathbb {T} =\mathbb {R} .$ Затем $\sigma (t)=t$, $\mu (t)=0$, $f^{\Delta }=f'$; — производная, используемая в стандартном исчислении . Если $\mathbb {T} =\mathbb {Z}$ ( целые числа ), $\sigma (t)=t+1$, $\mu (t)=1$, $f^{\Delta }=\Delta f$ — оператор прямой разности, используемый в разностных уравнениях.

Интеграция

Дельта -интеграл определяется как первообразная по отношению к дельта-производной. Если $F(t)$ имеет непрерывную производную $f(t)=F^{\Delta }(t)$ один комплект

$\int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).$

Преобразование Лапласа и z-преобразование

может Преобразование Лапласа быть определено для функций во временных масштабах, которое использует одну и ту же таблицу преобразований для любого произвольного временного масштаба. Это преобразование можно использовать для решения динамических уравнений во временных масштабах. Если масштаб времени представляет собой неотрицательные целые числа, то преобразование равно к модифицированному Z-преобразованию :

$${\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}$$

Частичная дифференциация

Уравнения в частных производных и уравнения в частных разностях объединены как динамические уравнения в частных производных во временных масштабах.

Множественная интеграция

Множественное интегрирование во временных масштабах рассматривается в Bohner (2005).

динамические уравнения во

Стохастические дифференциальные уравнения и стохастические разностные уравнения можно обобщить до стохастических динамических уравнений во временных масштабах.

Теория измерения

С каждым временным масштабом связана естественная мера. определяется через

$\mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),$

где $\lambda$ обозначает меру Лебега и $\rho$ — оператор обратного сдвига, определенный на $\mathbb {R}$. Дельта-интеграл оказывается обычным интегралом Лебега–Стилтьеса по этой мере.

$\int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)$

а дельта-производная оказывается производной Радона–Никодима по этой мере

$f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).$

Распределение по временным масштабам

Дельта Дирака и дельта Кронекера объединены во временных масштабах как дельта Хильгера :

$\delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}$

Дробное исчисление во временных масштабах

Дробное исчисление в масштабах времени рассматривается в работах Бастоса, Мозырской и Торреса.

См. также

• Анализ фракталов для динамических уравнений на множестве Кантора .
• Многомасштабный анализ
• Метод усреднения
• Krylov–Bogoliubov averaging method

Дальнейшее чтение

• Агарвал, Рави; Бонер, Мартин; О'Риган, Донал; Петерсон, Аллан (2002). «Динамические уравнения во временных масштабах: обзор» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1–2): 1–26. Бибкод : 2002JCoAM.141....1A . дои : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
• Динамические уравнения на временных масштабах. Специальный выпуск журнала вычислительной и прикладной математики (2002 г.)
• Динамические уравнения и приложения. Специальный выпуск журнала «Достижения в области разностных уравнений » (2006 г.)
• Динамические уравнения во временных масштабах: качественный анализ и приложения. Специальный выпуск нелинейной динамики и теории систем (2009 г.)

Внешние ссылки

• Группа шкалы времени Университета Бэйлора
• Timescalewiki.org