Исчисление шкалы времени

В математике исчисление исчисление шкалы времени объединение теории разностных уравнений с теорией дифференциальных уравнений , объединяющее интегральное и дифференциальное представляет собой с исчислением конечных разностей , предлагая формализм для изучения гибридных систем . Он находит применение в любой области, требующей одновременного моделирования дискретных и непрерывных данных. Он дает новое определение производной, так что если дифференцировать функцию, определенную для действительных чисел, то это определение эквивалентно стандартному дифференцированию, но если использовать функцию, определенную для целых чисел, то это эквивалентно оператору прямой разности .

История [ править ]

Исчисление шкалы времени было введено в 1988 году немецким математиком Стефаном Хильгером . ^[1] Однако подобные идеи использовались и раньше и восходят, по крайней мере, к введению интеграла Римана – Стилтьеса , который объединяет суммы и интегралы.

Динамические уравнения [ править ]

Многие результаты, касающиеся дифференциальных уравнений, довольно легко переносятся на соответствующие результаты для разностных уравнений, в то время как другие результаты кажутся совершенно отличными от своих непрерывных аналогов. ^[2]Исследование динамических уравнений во временных масштабах выявляет такие расхождения и помогает избежать двойного доказательства результатов — один раз для дифференциальных уравнений и второй раз для разностных уравнений. Общая идея состоит в том, чтобы доказать результат для динамического уравнения, в котором областью определения неизвестной функции является так называемая шкала времени (также известная как набор времени), которая может быть произвольным замкнутым подмножеством действительных чисел. Таким образом, результаты применимы не только к набору действительных чисел или набору целых чисел , но и к более общим временным шкалам, таким как набор Кантора .

Тремя наиболее популярными примерами исчисления во временных масштабах являются дифференциальное исчисление , разностное исчисление и квантовое исчисление . Динамические уравнения во временном масштабе имеют потенциал для применения, например, в динамике населения . Например, они могут моделировать популяции насекомых, которые непрерывно развиваются в течение сезона, вымирают зимой, пока их яйца инкубируются или находятся в состоянии покоя, а затем вылупляются в новом сезоне, создавая непересекающуюся популяцию.

Формальные определения [ править ]

Шкала времени (или цепочка мер ) — это замкнутое подмножество реальной линии. $\mathbb {R}$ . Общее обозначение общей шкалы времени: $\mathbb {T}$ .

Два наиболее часто встречающихся примера масштабов времени — это действительные числа. $\mathbb {R}$ и времени дискретная шкала $h\mathbb {Z}$ .

Отдельная точка на шкале времени определяется как:

t:t\in \mathbb {T}

Операции на временных шкалах [ править ]

Операторы перехода вперед, назад и зернистости в дискретной временной шкале.

Операторы перехода вперед и назад представляют ближайшую точку на шкале времени справа и слева от заданной точки. $t$ , соответственно. Формально:

\sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}

(оператор сдвига вперед/прыжка)

\rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}

(оператор обратного сдвига/прыжка)

Зернистость $\mu$ — это расстояние от точки до ближайшей точки справа, определяемое по формуле:

\mu (t)=\sigma (t)-t.

Для правоплотного $t$ , $\sigma (t)=t$ и $\mu (t)=0$ .
Для левой плотности $t$ , $\rho (t)=t.$

Классификация очков [ править ]

Несколько точек на шкале времени с разными классификациями

Для любого $t\in \mathbb {T}$ , $t$ является:

останется плотным , если $\rho (t)=t$
правильно плотный , если $\sigma (t)=t$
оставил разбросанным , если $\rho (t)<t$
прямо разбросано , если $\sigma (t)>t$
плотный , если плотный и слева, и справа плотный
изолирован , если рассеяны как слева, так и справа

Как показано на рисунке справа:

Точка $t_{1}$ плотный
Точка $t_{2}$ слева плотный , а справа рассеянный
Точка $t_{3}$ изолирован
Точка $t_{4}$ слева рассеянный , а справа плотный

Преемственность [ править ]

Непрерывность шкалы времени переопределяется как эквивалент плотности. Говорят, что шкала времени непрерывна справа в точке $t$ если оно плотно справа в точке $t$ . Аналогично, шкала времени называется непрерывной слева в точке $t$ если он остается плотным в точке $t$ .

Производная [ править ]

Возьмите функцию:

f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,

(где R может быть любым банаховым пространством , но для простоты установлено на действительную линию).

Определение: Дельта-производная (также производная Хильгера). $f^{\Delta }(t)$ существует тогда и только тогда, когда:

Для каждого $\varepsilon >0$ существует район $U$ из $t$ такой, что:

\left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|

для всех $s$ в $U$ .

Брать $\mathbb {T} =\mathbb {R} .$ Затем $\sigma (t)=t$ , $\mu (t)=0$ , $f^{\Delta }=f'$ ; — производная, используемая в стандартном исчислении . Если $\mathbb {T} =\mathbb {Z}$ ( целые числа ), $\sigma (t)=t+1$ , $\mu (t)=1$ , $f^{\Delta }=\Delta f$ — оператор прямой разности, используемый в разностных уравнениях.

Интеграция [ править ]

Дельта -интеграл определяется как первообразная по отношению к дельта-производной. Если $F(t)$ имеет непрерывную производную $f(t)=F^{\Delta }(t)$ один комплект

\int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).

Преобразование Лапласа и z-преобразование [ править ]

Преобразование Лапласа может быть определено для функций во временных масштабах, которое использует одну и ту же таблицу преобразований для любого произвольного временного масштаба. Это преобразование можно использовать для решения динамических уравнений во временных масштабах. Если масштаб времени представляет собой неотрицательные целые числа, то преобразование равно ^[2] к модифицированному Z-преобразованию :

{\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}

Частичная дифференциация [ править ]

Уравнения в частных производных и уравнения в частных разностях объединены как динамические уравнения в частных производных во временных масштабах. ^[3]^[4]^[5]

Множественная интеграция [ править ]

Множественное интегрирование во временных масштабах рассматривается в Bohner (2005). ^[6]

Стохастические динамические уравнения масштабах во временных

Стохастические дифференциальные уравнения и стохастические разностные уравнения можно обобщить до стохастических динамических уравнений во временных масштабах. ^[7]

измерения во масштабах Теория временных

С каждым временным масштабом связана естественная мера. ^[8]^[9] определяется через

\mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),

где $\lambda$ обозначает меру Лебега и $\rho$ — оператор обратного сдвига, определенный на $\mathbb {R}$ . Дельта-интеграл оказывается обычным интегралом Лебега–Стилтьеса по этой мере.

\int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)

а дельта-производная оказывается производной Радона–Никодима по этой мере ^[10]

f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).

Распределение по временным масштабам [ править ]

и Дельта Дирака дельта Кронекера объединены во временных масштабах как дельта Хильгера : ^[11]^[12]

\delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}

Дробное исчисление во временных масштабах [ править ]

Дробное исчисление в масштабах времени рассматривается в работах Бастоса, Мозырской и Торреса. ^[13]

См. также [ править ]

Анализ фракталов для динамических уравнений на множестве Кантора .
Многомасштабный анализ
Метод усреднения
Krylov–Bogoliubov averaging method

Ссылки [ править ]

^ Хильгер, Стефан (1989). Исчисление размерных цепей с применением к центральным многообразиям (кандидатская диссертация). Университет Вюрцбурга. OCLC 246538565 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Мартин Бонер и Аллан Петерсон (2001). Динамические уравнения на временных масштабах . Березовые домики. ISBN 978-0-8176-4225-9 .
^ Альбрандт, Кэлвин Д.; Мориан, Кристина (2002). «Уравнения в частных производных на временных масштабах» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1–2): 35–55. Бибкод : 2002JCoAM.141...35A . дои : 10.1016/S0377-0427(01)00434-4 .
^ Джексон, Б. (2006). «Частичные динамические уравнения на временных масштабах» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 186 (2): 391–415. Бибкод : 2006JCoAM.186..391J . дои : 10.1016/j.cam.2005.02.011 .
^ Бонер, М.; Гусейнов, Г.С. (2004). «Частичное дифференцирование во временных масштабах» (PDF) . Динамические системы и приложения . 13 : 351–379.
^ Бонер, М; Гусейнов, Г.С. (2005). «Множественное интегрирование во временных масштабах». Динамические системы и приложения . CiteSeerX 10.1.1.79.8824 .
^ Саньял, Суман (2008). Стохастические динамические уравнения (кандидатская диссертация). Миссурийский университет науки и технологий . ПроКвест 304364901 .
^ Гусейнов, Г.С. (2003). «Интеграция во временных масштабах» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 285 : 107–127. дои : 10.1016/S0022-247X(03)00361-5 .
^ Дениз, А. (2007). Теория меры во временных масштабах (PDF) (Магистерская диссертация). Измирский технологический институт .
^ Экхардт, Дж.; Тешль, Г. (2012). «О связи производных Хильгера и Радона – Никодима». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 385 (2): 1184–1189. arXiv : 1102.2511 . дои : 10.1016/j.jmaa.2011.07.041 . S2CID 17178288 .
^ Дэвис, Джон М.; Гравань, Ян А.; Джексон, Билли Дж.; Маркс, Роберт Дж. II; Рамос, Алиса А. (2007). «Возвращение к преобразованию Лапласа во временных масштабах» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 332 (2): 1291–1307. Бибкод : 2007JMAA..332.1291D . дои : 10.1016/j.jmaa.2006.10.089 .
^ Дэвис, Джон М.; Гравань, Ян А.; Маркс, Роберт Дж. II (2010). «Двусторонние преобразования Лапласа во временных масштабах: сходимость, свертка и характеристика стационарных стохастических временных рядов». Схемы, системы и обработка сигналов . 29 (6): 1141–1165. дои : 10.1007/s00034-010-9196-2 . S2CID 16404013 .
^ Бастос, Нуно Р.О.; Мозырская, Дорота; Торрес, Дельфим FM (2011). «Дробные производные и интегралы во временных масштабах с помощью обратного обобщенного преобразования Лапласа». Международный журнал математики и вычислений . 11 (J11): 1–9. arXiv : 1012.1555 . Бибкод : 2010arXiv1012.1555B .

Дальнейшее чтение [ править ]

Агарвал, Рави; Бонер, Мартин; О'Риган, Донал; Петерсон, Аллан (2002). «Динамические уравнения во временных масштабах: обзор» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1–2): 1–26. Бибкод : 2002JCoAM.141....1A . дои : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
Динамические уравнения на временных масштабах. Специальный выпуск журнала вычислительной и прикладной математики (2002 г.)
Динамические уравнения и приложения. Специальный выпуск журнала « Достижения в области разностных уравнений» (2006 г.)
Динамические уравнения во временных масштабах: качественный анализ и приложения. Специальный выпуск нелинейной динамики и теории систем (2009 г.)

Внешние ссылки [ править ]

[hilger-1] Хильгер, Стефан (1989). Исчисление размерных цепей с применением к центральным многообразиям (кандидатская диссертация). Университет Вюрцбурга. OCLC 246538565 .

[bp-2] Перейти обратно: ^а ^б Мартин Бонер и Аллан Петерсон (2001). Динамические уравнения на временных масштабах . Березовые домики. ISBN 978-0-8176-4225-9 .

[3] Альбрандт, Кэлвин Д.; Мориан, Кристина (2002). «Уравнения в частных производных на временных масштабах» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1–2): 35–55. Бибкод : 2002JCoAM.141...35A . дои : 10.1016/S0377-0427(01)00434-4 .

[4] Джексон, Б. (2006). «Частичные динамические уравнения на временных масштабах» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 186 (2): 391–415. Бибкод : 2006JCoAM.186..391J . дои : 10.1016/j.cam.2005.02.011 .

[5] Бонер, М.; Гусейнов, Г.С. (2004). «Частичное дифференцирование во временных масштабах» (PDF) . Динамические системы и приложения . 13 : 351–379.

[6] Бонер, М; Гусейнов, Г.С. (2005). «Множественное интегрирование во временных масштабах». Динамические системы и приложения . CiteSeerX 10.1.1.79.8824 .

[7] Саньял, Суман (2008). Стохастические динамические уравнения (кандидатская диссертация). Миссурийский университет науки и технологий . ПроКвест 304364901 .

[8] Гусейнов, Г.С. (2003). «Интеграция во временных масштабах» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 285 : 107–127. дои : 10.1016/S0022-247X(03)00361-5 .

[9] Дениз, А. (2007). Теория меры во временных масштабах (PDF) (Магистерская диссертация). Измирский технологический институт .

[10] Экхардт, Дж.; Тешль, Г. (2012). «О связи производных Хильгера и Радона – Никодима». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 385 (2): 1184–1189. arXiv : 1102.2511 . дои : 10.1016/j.jmaa.2011.07.041 . S2CID 17178288 .

[11] Дэвис, Джон М.; Гравань, Ян А.; Джексон, Билли Дж.; Маркс, Роберт Дж. II; Рамос, Алиса А. (2007). «Возвращение к преобразованию Лапласа во временных масштабах» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 332 (2): 1291–1307. Бибкод : 2007JMAA..332.1291D . дои : 10.1016/j.jmaa.2006.10.089 .

[12] Дэвис, Джон М.; Гравань, Ян А.; Маркс, Роберт Дж. II (2010). «Двусторонние преобразования Лапласа во временных масштабах: сходимость, свертка и характеристика стационарных стохастических временных рядов». Схемы, системы и обработка сигналов . 29 (6): 1141–1165. дои : 10.1007/s00034-010-9196-2 . S2CID 16404013 .

[13] Бастос, Нуно Р.О.; Мозырская, Дорота; Торрес, Дельфим FM (2011). «Дробные производные и интегралы во временных масштабах с помощью обратного обобщенного преобразования Лапласа». Международный журнал математики и вычислений . 11 (J11): 1–9. arXiv : 1012.1555 . Бибкод : 2010arXiv1012.1555B .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]