Множественный интеграл

Интеграл как площадь между двумя кривыми.

Двойной интеграл как объем под поверхностью z = 10 − ( ⁠ x ² − и ² / 8 ⁠ ) . Прямоугольная область в нижней части тела представляет собой область интегрирования, а поверхность представляет собой график функции двух переменных, подлежащей интегрированию.

В математике (в частности, исчислении с несколькими переменными ) кратный интеграл — это определенный интеграл от функции нескольких действительных переменных , например, f ( x , y ) или f ( x , y , z ) .

Интегралы функции двух переменных по области в $\mathbb {R} ^{2}$ ( плоскость действительных чисел ) называются двойными интегралами , а интегралы от функции трех переменных по области в $\mathbb {R} ^{3}$ (трехмерное пространство действительных чисел) называются тройными интегралами . Чтобы узнать о множественных интегралах функции с одной переменной, см. формулу Коши для повторного интегрирования .

Введение

Точно так же, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x , двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между поверхностью, определенной функцией (на трехмерной декартовой плоскости , где z = f ( x , y ) ) и плоскостью, которая содержит ее область определения . Если переменных больше, кратный интеграл даст гиперобъемы многомерных функций.

Множественное интегрирование функции от n переменных: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) по области D чаще всего представляется вложенными знаками интеграла в обратном порядке выполнения (крайний левый знак интеграла вычисляется последним ), за которым следуют функция и аргументы подынтегрального выражения в правильном порядке (интеграл по самому правому аргументу вычисляется последним). Область интегрирования либо представляется символически для каждого аргумента над каждым знаком интеграла, либо сокращается переменной в крайнем правом знаке интеграла:

$\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$

Поскольку понятие первообразной определено только для функций одной действительной переменной, обычное определение неопределенного интеграла не распространяется сразу на кратный интеграл.

Математическое определение

Для n > 1 рассмотрим так называемую «полуоткрытую» n -мерную гиперпрямоугольную область T , определяемую как

$T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Разделите каждый интервал [ a _j , b _j ) на конечное семейство I _j непересекающихся подинтервалов i _{j α} , причем каждый подинтервал закрыт на левом конце и открыт на правом конце.

Тогда конечное семейство подпрямоугольников C, заданное формулой

$C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

является разбиением ​ T ; то есть подпрямоугольники C _k не перекрываются и их объединение равно T .

Пусть f : T → R — функция, определенная на T . Рассмотрим разбиение C треугольника T , определенное выше, такое, что C представляет собой семейство из m подпрямоугольников C _m и

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

Мы можем аппроксимировать общий ( n + 1) -мерный объем, ограниченный снизу n- мерным гиперпрямоугольником T и сверху n- мерным графиком функции f , следующей суммой Римана :

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

где Pk _Ck — точка в , _а m ( Ck _Ck ) — произведение длин интервалов, декартово произведение которых равно также _{известное} как мера Ck _, .

Диаметр которых подпрямоугольника Ck _— это наибольшая из длин интервалов, произведение равно Ck _. декартово Диаметр данного раздела T определяется как наибольший из диаметров подпрямоугольников в разделе. как диаметр перегородки C становится все меньше и меньше, количество подпрямоугольников m становится больше, а мера m( Ck _{Интуитивно понятно, что по мере того ,} ) каждого подпрямоугольника уменьшается. Функция f называется интегрируемой по Риману, если предел

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

существует, где предел берется по всем возможным разбиениям T диаметра не более δ .

Если f интегрируема по Риману, S называется интегралом Римана от f над T и обозначается

$\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$.

Часто это обозначение сокращается как

$\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x}$.

где x представляет n -кортеж ( x ₁ , ..., x _n ) и d ^н x — n объема -мерный дифференциал .

Интеграл Римана от функции, определенной на произвольном ограниченном n -мерном множестве, можно определить путем расширения этой функции до функции, определенной на полуоткрытом прямоугольнике, значения которого равны нулю вне области определения исходной функции. Тогда интеграл исходной функции по исходной области определяется как интеграл расширенной функции по ее прямоугольной области, если он существует.

В дальнейшем интеграл Римана в n измерениях будем называть кратным интегралом .

Характеристики

Кратные интегралы обладают многими свойствами, общими со свойствами интегралов от функций одной переменной (линейность, коммутативность, монотонность и т. д.). Одним из важных свойств кратных интегралов является то, что значение интеграла не зависит от порядка подынтегральных выражений при определенных условиях. Это свойство широко известно как теорема Фубини .

Частные случаи

В случае $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, интеграл

$l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

является двойным интегралом от f на T , и если $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ интеграл

$l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

является тройным интегралом от f на T .

Обратите внимание, что по соглашению двойной интеграл имеет два знака целого, а тройной — три; это соглашение об обозначениях, которое удобно при вычислении кратного интеграла как повторного интеграла, как показано далее в этой статье.

Методы интеграции

Решение задач с кратными интегралами в большинстве случаев состоит в поиске способа сведения кратного интеграла к повторному интегралу — серии интегралов от одной переменной, каждый из которых разрешим напрямую. Для непрерывных функций это подтверждается теоремой Фубини . Иногда результат интегрирования можно получить непосредственным рассмотрением без каких-либо вычислений.

Ниже приведены некоторые простые методы интеграции:

Интегрирование постоянных функций

Когда подынтегральная функция является постоянной функцией c , интеграл равен произведению c и меры области интегрирования. Если c = 1 и область является подобластью R ² , интеграл дает площадь региона, а если домен является подобластью R ³ , интеграл дает объем области.

Пример. Пусть f ( x , y ) = 2 и

$D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}$,

в этом случае

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$,

поскольку по определению имеем:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)$.

Использование симметрии

Когда область интегрирования симметрична относительно начала координат хотя бы по одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечетна по отношению к этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинам области имеют одна и та же абсолютная величина, но противоположные знаки. Когда подынтегральное выражение четно по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной половине области определения, поскольку интегралы по двум половинам области равны.

Пример 1. Рассмотрим функцию f ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y ³ + 5 интегрированных в домен

$T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$,

диск радиуса 1 с центром в начале координат, включая границу.

Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$.

Функция 2 sin( x ) является нечетной функцией по переменной x , а круг T симметричен относительно оси y , поэтому значение первого интеграла равно 0. Аналогично функция 3 y ³ является нечетной функцией от y , а T симметричен относительно оси x , поэтому единственным вкладом в окончательный результат является вклад третьего интеграла. Следовательно, исходный интеграл равен площади диска, умноженной на 5, или 5 π .

Пример 2. Рассмотрим функцию f ( x , y , z ) = x exp( y ² + я ² ) и в качестве области интегрирования - шар радиуса 2 с центром в начале координат,

$T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}$.

«Шар» симметричен относительно всех трех осей, но его достаточно проинтегрировать по оси x , чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку функция является нечетной функцией этой переменной.

Обычные домены на R ²

Смотрите также: Порядок интегрирования (исчисление)

Этот метод применим к любому домену D , для которого:

• Проекция ось D , либо на ось x либо на y ограничена двумя значениями: a и b.
• Любая линия, перпендикулярная этой оси, которая проходит между этими двумя значениями, пересекает область в интервале, конечные точки которого заданы графиками двух функций: α и β.

Такой домен будет здесь называться обычным доменом . В других источниках нормальные домены иногда называют доменами типа I или типа II, в зависимости от того, по какой оси расположен домен. Во всех случаях интегрируемая функция должна быть интегрируемой по Риману в области определения, что верно (например), если функция непрерывна.

X ось

Если область D нормальна относительно оси x и f : D → R — непрерывная функция ; тогда α ( x ) и β ( x ) (обе определены на интервале [ a , b ] ) являются двумя функциями, которые D. определяют Тогда по теореме Фубини:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy$.

и -ось

Если D нормален относительно оси y и f : D → R — непрерывная функция; тогда α ( y ) и β ( y ) (обе из которых определены на интервале [ a , b ] ) являются двумя функциями, которые D. определяют Опять же по теореме Фубини:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx$.

Обычные домены на R ³

Если T — область, нормальная относительно плоскости xy и определяемая функциями α ( x , y ) и β ( x , y ) , то

$\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy$.

Это определение одинаково для остальных пяти случаев нормальности на R. ³ . Его можно напрямую обобщить на домены в R. ^н .

Изменение переменных

См. Также: Интеграция путем замены § Замена нескольких переменных.

Пределы интегрирования часто нелегко заменить (без нормальности или со сложными формулами для интегрирования). Делается замена переменных , чтобы переписать интеграл в более «комфортную» область, которую можно описать более простыми формулами. Для этого функцию необходимо адаптировать к новым координатам.

Пример 1а. Функция f ( x , y ) = ( x - 1) ² + √ у ; если принять замену u = x - 1 , v = y, следовательно, x = u + 1 , y = v, получим новую функцию f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Аналогично и для домена, поскольку он ограничен исходными переменными, которые были преобразованы ранее ( x и y ). в примере
• Дифференциалы dx и dy преобразуются через абсолютное значение определителя матрицы Якоби, содержащей частные производные преобразований относительно новой переменной (рассмотрим, например, дифференциальное преобразование в полярных координатах)

Существует три основных «вида» изменений переменной (один в R ² , два в R ³ ); однако можно сделать более общие замены, используя тот же принцип.

Полярные координаты

См. Также: Полярная система координат.

Преобразование из декартовых координат в полярные.

В Р ² если область имеет круговую симметрию и функция имеет некоторые особые характеристики, можно применить преобразование к полярным координатам (см. пример на рисунке), что означает, что общие точки P ( x , y ) в декартовых координатах переключаются на соответствующие точки. в полярных координатах. Это позволяет изменить форму домена и упростить операции.

Фундаментальное соотношение для осуществления преобразования заключается в следующем:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )$.

Пример 2а. Функция равна f ( x , y ) = x + y, и применяя преобразование, получаем

$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )$.

Пример 2б. Функция f ( x , y ) = x ² + и ² , в этом случае имеем:

$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$

используя тригонометрическое тождество Пифагора (может быть полезно для упрощения этой операции).

Преобразование области производится путем определения длины вершины радиуса и амплитуды описанного угла для определения интервалов ρ , φ, начиная с x , y .

Пример преобразования области из декартовой в полярную.

Пример 2в. Домен D = { x ² + и ² ≤ 4} , то есть окружность радиуса 2; очевидно, что охватываемый угол - это угол окружности, поэтому φ варьируется от 0 до 2 π , а радиус короны варьируется от 0 до 2 (коронка с нулевым внутренним радиусом - это просто круг).

Пример 2д. Домен D = { x ² + и ² ≤ 9, х ² + и ² ≥ 4, y ≥ 0} , то есть круглая корона в положительной y полуплоскости (см. рисунок в примере); φ описывает плоский угол, а ρ варьируется от 2 до 3. Следовательно, преобразованная область будет представлять собой следующий прямоугольник :

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}$.

Якобиан , определитель этого преобразования, следующий:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$,

который был получен путем подстановки частных производных x = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ ) в первый столбец по отношению к ρ и во второй столбец по отношению к φ , так что дифференциалы dx dy в этом преобразовании становятся ρ dρ dφ .

После преобразования функции и оценки области определения можно определить формулу замены переменных в полярных координатах:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$.

φ действителен в интервале [0, 2π], тогда как ρ , который является мерой длины, может иметь только положительные значения.

Пример 2д. Функция f ( x , y ) = x , а область определения такая же, как в примере 2d. Из предыдущего анализа D мы знаем интервалы ρ (от 2 до 3) и φ (от 0 до π ). Теперь меняем функцию:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi$.

Наконец, давайте применим формулу интегрирования:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi$.

Как только интервалы известны, у вас есть

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0$.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

В Р ³ интегрирование по областям с круговым основанием может быть произведено переходом к цилиндрическим координатам ; преобразование функции производится по следующему соотношению:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)$

Преобразование домена может быть осуществлено графически, поскольку меняется только форма основания, а высота соответствует форме начальной области.

Пример 3а. Область D = { x ² + и ² ≤ 9, х ² + и ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (то есть «трубка», основанием которой является круглая коронка из примера 2d и высота которой равна 5); если применить преобразование, то получается такая область:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$

(то есть параллелепипед, основание которого похоже на прямоугольник из примера 2г, а высота равна 5).

Поскольку компонента z не меняется при преобразовании, дифференциалы dx dy dz меняются, как и при переходе к полярным координатам: поэтому они становятся ρ dρ dφ dz .

Наконец, окончательную формулу можно применить к цилиндрическим координатам:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$.

Этот метод удобен в случае цилиндрических или конических областей или в областях, где легко выделить интервал z и даже преобразовать круговое основание и функцию.

Пример 3б. Функция f ( x , y , z ) = x ² + и ² + z и в качестве области интегрирования этот цилиндр : D = { x ² + и ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . Преобразование D в цилиндрических координатах следующее:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$.

в то время как функция становится

$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$.

Наконец, можно применить формулу интегрирования:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$;

развивая формулу, которая у вас есть

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi$.

Сферические координаты

Сферические координаты.

В Р ³ некоторые области имеют сферическую симметрию, поэтому координаты каждой точки области интегрирования можно задать двумя углами и одним расстоянием. Поэтому можно использовать переход к сферическим координатам ; функция преобразуется этим соотношением:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )$.

Точки на оси z не имеют точной характеристики в сферических координатах, поэтому θ может варьироваться от 0 до 2 π .

Лучшей областью интеграции для этого отрывка является сфера.

Пример 4а. Домен D = x ² + и ² + я ² ≤ 16 (сфера радиуса 4 с центром в начале координат); применив преобразование, вы получите регион

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$.

Якобиан определитель этого преобразования следующий:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$.

Таким образом, дифференциалы dx dy dz преобразуются в ρ ² грех( φ ) dρ dθ dφ .

Это дает окончательную формулу интегрирования:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$.

Этот метод лучше использовать в случае сферических областей и в случае функций, которые легко упростить с помощью первого фундаментального соотношения тригонометрии, распространенного на R ³ (см. пример 4б); в других случаях лучше использовать цилиндрические координаты (см. пример 4в).

$\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$.

Дополнительный ρ ² и грех φ происходят из якобиана.

В следующих примерах роли φ и θ поменялись местами.

Пример 4б. D — та же область, что и в примере 4а, и f ( x , y , z ) = x ² + и ² + я ² – это функция интегрирования. Его трансформация очень проста:

$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}$,

при этом мы знаем интервалы преобразованной области T из D :

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$.

Поэтому применим формулу интегрирования:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$,

и, развиваясь, получаем

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}$.

Пример 4в. Область D представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом 3 a ,

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$,

и ж ( Икс , y , z ) знак равно Икс ² + и ² – это функция интегрирования.

Глядя на область, кажется удобным перейти к сферическим координатам, ведь интервалы переменных, ограничивающих новую Т- область, таковы:

$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$.

Однако, применив преобразование, получим

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Применяя формулу интегрирования, получаем:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$,

которую можно решить, превратив ее в повторный интеграл. $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$.

$I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$,

$II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$,

$III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$.

Собираем все детали,

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$.

Альтернативно эту проблему можно решить, используя переход к цилиндрическим координатам. Новые Т интервалы

$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}$;

интервал z был получен путем разделения шара на две полусферы путем простого решения неравенства по формуле D (а затем непосредственного преобразования x ² + и ² в ρ ² ). Новая функция — это просто ρ ² . Применение формулы интегрирования

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$.

Тогда мы получаем:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}$

Благодаря переходу к цилиндрическим координатам удалось свести тройной интеграл к более простому интегралу с одной переменной.

См. также запись дифференциального объема в набле в цилиндрических и сферических координатах .

Примеры

Двойной интеграл по прямоугольнику

Предположим, что мы хотим интегрировать функцию многих переменных f по области A :

$A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,$.

Отсюда формулируем повторный интеграл

$\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy$.

Сначала выполняется внутренний интеграл, интегрирование по x и принятие y в качестве константы, поскольку она не является переменной интегрирования . Результат этого интеграла, который является функцией, зависящей только от y , затем интегрируется по y .

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}$

Затем мы интегрируем результат по y .

${\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}$

В тех случаях, когда двойной интеграл от абсолютного значения функции конечен, порядок интегрирования взаимозаменяем, то есть сначала интегрирование по x и сначала интегрирование по y дают один и тот же результат. Это теорема Фубини . Например, выполнение предыдущего расчета с обратным порядком дает тот же результат:

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}$

Двойной интеграл по нормальной области

Пример: двойной интеграл по нормальной области D

Учитывайте регион (см. график в примере):

$D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}$ .

Рассчитать

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy$.

Эта область является нормальной по отношению как к осям x , так и к осям y . Для применения формул необходимо найти функции, определяющие D , и интервалы, на которых определяются эти функции. В этом случае две функции:

$\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1$

в то время как интервал задается пересечением функций с x = 0, поэтому интервал равен [ a , b ] = [0, 1] (нормальность была выбрана по отношению к оси x для лучшего визуального понимания).

Теперь можно применить формулу:

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}$

(сначала вычисляется второй интеграл, считая x постоянным). Остальные операции заключаются в применении основных приемов интегрирования:

$\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}$.

Если мы выберем нормальность относительно оси y, мы сможем вычислить

$\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx$.

и получить то же значение.

Пример домена в R ³ это нормально по отношению к плоскости xy .

Расчет объема

Используя ранее описанные методы, можно рассчитать объемы некоторых распространенных твердых веществ.

• Цилиндр : объем цилиндра высотой h и круглым основанием радиуса R можно рассчитать путем интегрирования постоянной функции h по круглому основанию, используя полярные координаты.

$\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$

Это соответствует формуле объема призмы

$\mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}$.

• Сфера : объем сферы радиуса R можно рассчитать путем интегрирования постоянной функции 1 по сфере, используя сферические координаты.

${\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}$

• Тетраэдр (треугольная пирамида или 3- симплекс ): объем тетраэдра с вершиной в начале координат и ребрами длиной ℓ вдоль осей x , y и z можно рассчитать путем интегрирования постоянной функции 1 по тетраэдру.

${\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Это соответствует формуле объема пирамиды .

$\mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}$.

Пример неправильного домена.

Множественный несобственный интеграл

В случае неограниченных областей или функций, не ограниченных вблизи границы области, мы должны ввести двойной несобственный интеграл или тройной несобственный интеграл .

Кратные интегралы и повторные интегралы

Смотрите также: Порядок интегрирования (исчисление)

Теорема Фубини утверждает, что если

$\iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty$,

то есть, если интеграл абсолютно сходится, то кратный интеграл даст тот же результат, что и любой из двух повторных интегралов:

$\iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy$.

В частности, это произойдет, если | ж ( Икс , у ) | — ограниченная функция , а A и B — ограниченные множества .

Если интеграл не является абсолютно сходящимся, необходимо проявлять осторожность, чтобы не путать понятия кратного интеграла и повторного интеграла , тем более что для любого понятия часто используются одни и те же обозначения. Обозначения

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx$

в некоторых случаях означает повторный интеграл, а не настоящий двойной интеграл. В повторном интеграле внешний интеграл

$\int _{0}^{1}\cdots \,dx$

является интегралом по x следующей функции от x :

$g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy$.

С другой стороны, двойной интеграл определяется по площади в плоскости xy . Если двойной интеграл существует, то он равен каждому из двух повторных интегралов (либо « dy dx », либо « dx dy »), и его часто вычисляют, вычисляя любой из повторных интегралов. Но иногда два повторных интеграла существуют, а двойной интеграл не существует, и в некоторых таких случаях два повторных интеграла представляют собой разные числа, т.е.

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy$.

Это пример перестановки условно сходящегося интеграла.

С другой стороны, некоторые условия гарантируют, что два повторных интеграла равны, даже если двойной интеграл не обязательно должен существовать. По теореме Фихтенхольца – Лихтенштейна , если f ограничено на [0, 1] × [0, 1] и оба повторных интеграла существуют, то они равны. Более того, существование внутренних интегралов обеспечивает существование внешних интегралов. Двойной интеграл в этом случае не обязательно должен существовать, даже как интеграл Лебега , согласно Серпинскому .

Обозначения

$\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$

может использоваться, если кто-то хочет подчеркнуть, что речь идет о двойном интеграле, а не о повторном интеграле.

Тройной интеграл

Основная статья: Интеграл объема

Тройной интеграл был продемонстрирован теоремой Фубини. Теорема Дрихле и теорема расширения Лиувилля тройного интеграла.

Некоторые практические применения

В общем, как и в случае с одной переменной, можно использовать множественный интеграл, чтобы найти среднее значение функции по заданному набору. Учитывая множество D ⊆ R ^н и интегрируемой функции f по D среднее значение f по ее области определения определяется выражением

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx$,

где m ( D ) — мера D. ​ ​

Кроме того, множественные интегралы используются во многих приложениях в физике . В примерах ниже также показаны некоторые варианты обозначений.

В механике момент инерции вычисляется как объёмный интеграл (тройной интеграл) плотности, взвешенной по квадрату расстояния от оси:

$I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV$.

Гравитационный потенциал , связанный с распределением массы , заданным мерой массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R. ³ является

$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )$.

Если существует непрерывная функция ρ ( x ), представляющая плотность распределения в точке x , так что dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ х , где d ³ x – евклидов элемент объема , тогда гравитационный потенциал равен

$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y}$.

В электромагнетизме уравнения Максвелла можно записать с использованием нескольких интегралов для расчета суммарных магнитных и электрических полей. В следующем примере электрическое поле , создаваемое распределением зарядов , определяемым объемной плотностью заряда ρ ( r → ), получается тройным интегралом векторной функции:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'$.

Это также можно записать в виде интеграла по знаковой мере, представляющей распределение заряда.

См. также

• Основные теоремы анализа , связывающие кратные интегралы:
  • Теорема о дивергенции
  • Теорема Стокса
  • Теорема Грина

Дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (2003). Исчисление: полный курс (5-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-79131-5 .
• Джайн, РК; Айенгар, ШРК (2009). Высшая инженерная математика (3-е изд.). Издательство Нароса. ISBN  978-81-7319-730-7 .
• Герман, Эдвин «Джед» и Стрэнг, Гилберт (2016): Исчисление: Том 3 : OpenStax, Университет Райса, Хьюстон, Техас, США. ISBN   978-1-50669-805-2 . ( PDF )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Множественный интеграл» . Математический мир .
• Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], «Кратный интеграл» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Математический помощник по онлайн-вычислению двойных интегралов в декартовых и полярных координатах (включает промежуточные этапы решения на базе Maxima (программное обеспечение) )
• Онлайн-калькулятор двойного интеграла от WolframAlpha
• Онлайн-калькулятор тройного интеграла от WolframAlpha