Количество угля

Квантовое исчисление , иногда называемое исчислением без ограничений , эквивалентно традиционному исчислению бесконечно малых без понятия пределов . Два типа исчисления в квантовом исчислении — это q -исчисление и h -исчисление. Цель обоих типов — найти «аналоги» математических объектов, где после достижения определенного предела возвращается исходный объект. В q -исчислении предел при стремлении q к 1 берется из q -аналога . Аналогично, в h -исчислении предел при стремлении h к 0 берется из h -аналога. Параметры $q$ и $h$ можно связать по формуле $q=e^{h}$.

Дифференциация

q - дифференциал и h -дифференциал определяются как:

$d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)$

и

$d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)$,

соответственно. Тогда q - производная и h -производная определяются как

$D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}$

и

$D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

соответственно. Приняв предел как $q\rightarrow 1$ -производной q или как $h\rightarrow 0$ -производной h можно получить производную :

$\lim _{q\rightarrow 1}D_{q}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}D_{h}f(x)={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}$

Интеграция

q-интеграл

Функция F ( x ) является q-первообразной от f ( x ), если D _q F ( x ) = f ( x ). q-первообразная (или q-интеграл) обозначается через ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$ и выражение для F ( x ) можно найти из: ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$, который называется интегралом Джексона от f ( x ). При 0 < q < 1 ряд сходится к функции F ( x ) на интервале (0, A ], если | f ( x ) x ^а | ограничен на интервале (0, A ] для некоторого 0 ⩽ α < 1 .

q-интеграл — это интеграл Римана–Стилтьеса по ступенчатой ​​функции, имеющей бесконечное число точек возрастания в точках q. ^Дж. .Скачок в точке q ^дж q ​ ^дж . Вызов этой ступенчатой ​​функции g _q ( t ) дает dg _q ( t ) = d _q t .

h-интеграл

Функция F ( x ) является h-первообразной от f ( x ), если D _h F ( x ) = f ( x ). h-интеграл обозначается ${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$. Если a и b отличаются на целое число, кратное h , то определенный интеграл ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$ задается суммой Римана f h ( x ) на интервале [ a , b ] разделенной на подинтервалы равной ширины , . Мотивация h-интеграла исходит из суммы Римана f(x). Следуя идее мотивации классических интегралов, некоторые свойства классических интегралов сохраняются и в h-интеграле. Это понятие имеет широкое применение в численном анализе , и особенно в исчислении конечных разностей .

Пример

В исчислении бесконечно малых производная функции $x^{n}$ является $nx^{n-1}$ (для некоторого положительного целого числа $n$). Соответствующие выражения в q -исчислении и h -исчислении:

$D_{q}(x^{n})={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}$

где $[n]_{q}$ это q -скобка

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

и

${\begin{aligned}D_{h}(x^{n})&={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&={\frac {1}{h}}\left(\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}-x^{n}}\right)\\&={\frac {1}{h}}\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}\\&=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +nh^{n-2}x+h^{n-1},\end{aligned}}$

соответственно. Выражение $[n]_{q}x^{n-1}$ тогда является q -аналогом и ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}}$ является h -аналогом степенного правила для положительных целых степеней. q -разложение Тейлора позволяет определить q -аналоги всех обычных функций, таких как функция синуса , q -производная которой является q -аналогом косинуса .

История

- исчисление H — это исчисление конечных разностей , которое изучалось Джорджем Булем и другими и оказалось полезным в комбинаторике и механике жидкости . В некотором смысле q -исчисление восходит к Леонарду Эйлеру и Карлу Густаву Якоби , но только недавно начало находить полезность в квантовой механике , учитывая его тесную связь с соотношениями коммутативности и алгебрами Ли , в частности, квантовыми группами .

См. также

• Некоммутативная геометрия
• Квантовое дифференциальное исчисление
• Расчет шкалы времени
• q-аналоговый
• Базовый гипергеометрический ряд
• Как дилогарифм

Дальнейшее чтение

• Джордж Гаспер, Мизан Рахман, Базовая гипергеометрическая серия , 2-е изд., Cambridge University Press (2004), ISBN   978-0-511-52625-1 , дои : 10.1017/CBO9780511526251

• Джексон, Ф.Х. (1908). «О q -функциях и одном разностном операторе». Труды Королевского общества Эдинбурга . 46 (2): 253–281. дои : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID   123927312 .
• Экстон, Х. (1983). q-гипергеометрические функции и приложения . Нью-Йорк: Холстед Пресс. ISBN  0-85312-491-4 .
• Кац, Виктор ; Чунг, Покман (2002). Квантовое исчисление . Университеттекст. Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-95341-8 .