Интеграл Джексона

В q-аналоговой теории — Джексона интегральный ряд в теории специальных функций , выражающий операцию, обратную q-дифференцированию .

Интеграл Джексона был введен Фрэнком Хилтоном Джексоном . О методах численной оценки см. и Экстон (1983) .

Определение

Пусть f ( x ) будет функцией действительной переменной x . Для действительной переменной интеграл Джексона от f определяется следующим разложением в ряд:

$\int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).$

Этому соответствует определение $a\to \infty$

  $\int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).$

В более общем смысле, если g ( x ) — другая функция и D _q g обозначает ее q -производную, мы можем формально записать

$\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},$ или

$\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),$

дающий q -аналог интеграла Римана–Стилтьеса .

Интеграл Джексона как q-первообразная

Так же, как обычная первообразная может непрерывной функции быть представлена ​​ее интегралом Римана , можно показать, что интеграл Джексона дает уникальную q -первообразную. внутри определенного класса функций (см. ).

Теорема

Предположим, что $0<q<1.$ Если $|f(x)x^{\alpha }|$ ограничено на интервале $[0,A)$ для некоторых $0\leq \alpha <1,$ то интеграл Джексона сходится к функции $F(x)$ на $[0,A)$ которая является q -первообразной от $f(x).$ Более того, $F(x)$ является непрерывным в $x=0$ с $F(0)=0$ и является уникальной производной $f(x)$ в этом классе функций.

Ссылки

• Виктор Кац, Покман Чунг, Квантовое исчисление , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN   0-387-95341-8
• Джексон Ф.Х. (1904), «Обобщение функций Γ(n) и xn _» , Proc. Р. Сок. 74 64–72.
• Джексон Ф.Х. (1910), «О q-определенных интегралах», QJ Pure Appl. Математика. 41 193–203.
• Экстон, Гарольд (1983). Q-гипергеометрические функции и приложения . Чичестер [Западный Суссекс]: Э. Хорвуд. ISBN  978-0470274538 .