Суперсимметричная квантовая механика

В теоретической физике суперсимметричная квантовая механика является областью исследований, в которой суперсимметрия применяется к более простой установке простой квантовой механики , а не к квантовой теории поля . Суперсимметричная квантовая механика нашла применение за пределами физики высоких энергий , например, предоставляя новые методы решения квантово-механических задач, обеспечивая полезные расширения приближения ВКБ и статистической механики .

Введение

Понимание последствий суперсимметрии (SUSY) оказалось математически сложным, и также было трудно разработать теории, которые могли бы объяснить нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых частиц-партнеров равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику — приложение супералгебры суперсимметрии к квантовой механике в отличие от квантовой теории поля. Была надежда, что изучение последствий SUSY в этой более простой обстановке приведет к новому пониманию; Примечательно, что эти усилия создали новые области исследований в самой квантовой механике.

Например, студентов обычно учат «решать» атом водорода с помощью трудоемкого процесса, который начинается с подстановки кулоновского потенциала в уравнение Шредингера . После значительного объема работы с использованием множества дифференциальных уравнений анализ дает рекурсивное соотношение для полиномов Лагерра . Результатом является спектр энергетических состояний атома водорода (обозначенный квантовыми числами n и l ). Используя идеи, почерпнутые из SUSY, конечный результат можно получить значительно проще, почти так же, как операторные методы используются для решения гармонического осциллятора . Подобный суперсимметричный подход также можно использовать для более точного нахождения спектра водорода с помощью уравнения Дирака. Как ни странно, этот подход аналогичен тому, как Эрвин Шредингер впервые решил проблему атома водорода. Конечно, он не назвал свое решение суперсимметричным, поскольку SUSY находилась в тридцатилетнем будущем.

Решение SUSY атома водорода является лишь одним примером очень общего класса решений, которые SUSY предоставляет для потенциалов, инвариантных по форме , категории, которая включает большинство потенциалов, изучаемых на вводных курсах квантовой механики.

Квантовая механика SUSY включает в себя пары гамильтонианов , которые имеют определенные математические отношения, которые называются гамильтонианами-партнерами . ( Члены потенциальной энергии , которые встречаются в гамильтонианах, тогда называются партнерскими потенциалами .) Вводная теорема показывает, что для каждого собственного состояния одного гамильтониана его партнерский гамильтониан имеет соответствующее собственное состояние с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний с нулевой энергией). Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналогично первоначальному описанию SUSY, в котором речь шла о бозонах и фермионах. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», собственными состояниями которого являются различные бозоны нашей теории. SUSY-партнер этого гамильтониана будет «фермионом», а его собственными состояниями будут фермионы теории. У каждого бозона был бы фермионный партнер равной энергии, но в релятивистском мире энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем с такой же легкостью сказать, что частицы-партнеры имеют одинаковую массу.

Концепции SUSY предоставили полезные расширения приближения ВКБ в форме модифицированной версии условия квантования Бора-Зоммерфельда . Кроме того, SUSY был применен к неквантовой статистической механике с помощью уравнения Фоккера-Планка , показав, что даже если первоначальное вдохновение в физике частиц высоких энергий оказалось тупиком, его исследование принесло много полезных преимуществ.

Пример: гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид

$H^{\rm {HO}}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{\rm {HO}}\psi _{n}(x),$

где $\psi _{n}(x)$ это $n$собственное энергетическое состояние $H^{HO}$ с энергией $E_{n}^{HO}$. Мы хотим найти выражение для $E_{n}^{\rm {HO}}$ с точки зрения $n$. Определим операторы

$A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)$

и

$A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),$

где $W(x)$, который нам нужно выбрать, называется суперпотенциалом $H^{\rm {HO}}$. Определим также упомянутые выше партнерские гамильтонианы $H^{(1)}$ и $H^{(2)}$ как

$H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)$

$H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).$

Основное состояние с нулевой энергией $\psi _{0}^{(1)}(x)$ из $H^{(1)}$ будет удовлетворять уравнению

$H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.$

Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора $\psi _{0}(x)$, мы можем решить $W(x)$ как

$W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}$

Затем мы находим, что

$H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}$

$H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.$

Теперь мы можем это увидеть

$H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{\rm {HO}}-{\frac {\hbar \omega }{2}}.$

Это частный случай инвариантности формы, обсуждаемый ниже. Если принять без доказательства упомянутую выше вводную теорему, то очевидно, что спектр $H^{(1)}$ начнется с $E_{0}=0$ и продолжайте движение вверх шагами $\hbar \omega .$ Спектры $H^{(2)}$ и $H^{\rm {HO}}$ будет иметь тот же четный интервал, но будет смещен вверх на величину $\hbar \omega$ и $\hbar \omega /2$, соответственно. Отсюда следует, что спектр $H^{\rm {HO}}$ поэтому знакомый $E_{n}^{\rm {HO}}=\hbar \omega (n+1/2)$.

SUSY

Из фундаментальной квантовой механики мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношениями между этими операторами. Например, канонические операторы положения и импульса имеют коммутатор $[x,p]=i$. (Здесь мы используем « натуральные единицы », где постоянная Планка принимается равной 1.) Более сложный случай — это алгебра операторов углового момента ; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией трехмерного пространства. Чтобы обобщить это понятие, определим антикоммутатор , который связывает операторы так же, как обычный коммутатор , но с противоположным знаком:

$\{A,B\}=AB+BA.$

Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли . Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом ${\mathcal {H}}$ и набор $N$ операторы $Q_{i}$. Эту систему будем называть суперсимметричной, если для всех $i,j=1,\ldots ,N$:

$\{Q_{i},Q_{j}^{\dagger }\}={\mathcal {H}}\delta _{ij}.$

Если это так, то мы вызываем $Q_{i}$ суперзаряды системы .

Пример

Давайте посмотрим на пример одномерной нерелятивистской частицы с двумерной ( т.е. двумя состояниями) внутренней степенью свободы, называемой «спин» (на самом деле это не спин, поскольку «настоящий» спин является свойством трехмерных частиц). Позволять $b$ быть оператором, который преобразует частицу со спином вверх в частицу со спином вниз. Его сопряженный $b^{\dagger }$ затем преобразует частицу со спином вниз в частицу со спином вверх; операторы нормированы так, что антикоммутатор $\{b,b^{\dagger }\}=1$. И конечно, $b^{2}=0$. Позволять $p$ быть импульсом частицы и $x$ быть его позицией с $[x,p]=i$. Позволять $W$ (« суперпотенциал ») — произвольная комплексная аналитическая функция от $x$ и определим суперсимметричные операторы

$Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]$

$Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]$

Обратите внимание, что $Q_{1}$ и $Q_{2}$ являются самосопряженными. Пусть гамильтониан

$H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)$

где W' производная от W. — Также обратите внимание, что { Q ₁ ,Q ₂ }=0. Это не что иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что $\Im \{W\}$ действует как электромагнитный векторный потенциал .

Давайте также будем называть состояние со спином вниз «бозонным», а состояние со спином вверх — «фермионным». Это лишь аналогия с квантовой теорией поля, и ее не следует понимать буквально. Затем Q ₁ и Q ₂ отображают «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот.

Давайте немного переформулируем это:

Определять

$Q=(p-iW)b$

и конечно,

$Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }$

$\{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0$

и

$\{Q^{\dagger },Q\}=2H$

Оператор является «бозонным», если он отображает «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионные» состояния в «фермионные» состояния. Оператор является «фермионным», если он переводит «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор можно однозначно выразить как сумму бозонного и фермионного операторов. Определите суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или между бозонным и фермионным операторами он является не чем иным, как коммутатором, а между двумя фермионными операторами он является антикоммутатором .

Тогда x и p — бозонные операторы, а b, $b^{\dagger }$, Q и $Q^{\dagger }$ являются фермионными операторами.

Давайте поработаем с картиной Гейзенберга , где x, b и $b^{\dagger }$ являются функциями времени.

Затем,

$[Q,x\}=-ib$

$[Q,b\}=0$

$[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}$

$[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }$

$[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}$

$[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0$

В общем случае это нелинейно: т.е. x(t), b(t) и $b^{\dagger }(t)$ не образуют линейное представление SUSY, потому что $\Re \{W\}$ не обязательно линейно по x. Чтобы избежать этой проблемы, определите самосопряженный оператор $F=\Re \{W\}$. Затем,

$[Q,x\}=-ib$

$[Q,b\}=0$

$[Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF$

$[Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}$

$[Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }$

$[Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF$

$[Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0$

$[Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}$

и мы видим, что у нас есть линейное представление SUSY.

Теперь введем две «формальные» величины: $\theta$; и ${\bar {\theta }}$ причем последнее является сопряженным к первому, так что

$\{\theta ,\theta \}=\{{\bar {\theta }},{\bar {\theta }}\}=\{{\bar {\theta }},\theta \}=0$

и оба они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.

Далее мы определяем конструкцию, называемую суперполем :

$f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)$

f , конечно, самосопряжена. Затем,

$[Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,$

$[Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.$

Между прочим, существует также U(1) _R- симметрия, где p, x и W имеют нулевые R-заряды и $b^{\dagger }$ имеющий R-заряд 1 и b, имеющий R-заряд -1.

Инвариантность формы

Предполагать $W$ реально для всех реально $x$. Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана до

$H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)$

Существуют определенные классы суперпотенциалов, у которых бозонный и фермионный гамильтонианы имеют схожие формы. Конкретно

$V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})$

где $a$- это параметры. Например, потенциал атома водорода с угловым моментом $l$ можно написать так.

${\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}$

Это соответствует $V_{-}$ для суперпотенциала

$W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}$

$V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}$

Это потенциал для $l+1$ угловой момент, сдвинутый на постоянную величину. После решения $l=0$ В основном состоянии суперсимметричные операторы могут использоваться для построения остальной части спектра связанного состояния.

В общем, поскольку $V_{-}$ и $V_{+}$ являются партнерскими потенциалами, они имеют один и тот же энергетический спектр, за исключением одной дополнительной основной энергии. Мы можем продолжить этот процесс нахождения партнерских потенциалов с условием инвариантности формы, дав следующую формулу для энергетических уровней через параметры потенциала

$E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})$

где $a_{i}$ являются параметрами для множественных партнерских потенциалов.

Приложения

В 2021 году суперсимметричная квантовая механика была применена для ценообразования опционов и анализа рынков в области квантового финансирования . и финансовым сетям .

См. также

• Алгебра суперсимметрии
• Супералгебра
• Суперсимметричная калибровочная теория

Источники

• Ф. Купер, А. Харе и У. Сукхатме, «Суперсимметрия и квантовая механика», Phys.Rept.251:267-385, 1995.
• Д. С. Кулшрешта, Дж. К. Лян и Х. Дж. Мюллер-Кирстен, «Уравнения флуктуаций о классических конфигурациях поля и суперсимметричной квантовой механике», Annals Phys. 225:191-211, 1993.
• Г. Юнкер, «Суперсимметричные методы в квантовой и статистической физике», Springer-Verlag, Берлин, 1996 г.
• Б. Мельник и О. Росас-Ортис, «Факторизация: маленький или великий алгоритм?», J. Phys. А: Математика. Быт. 37: 10007-10035, 2004 г.

Внешние ссылки

• Рекомендации от INSPIRE-HEP