Квантовые финансы

Квантовые финансы — это междисциплинарная область исследований, в которой применяются теории и методы, разработанные квантовыми физиками и экономистами, для решения проблем в области финансов . Это раздел эконофизики . Сегодня с использованием квантовых вычислений исследуются несколько финансовых приложений, таких как обнаружение мошенничества, оптимизация портфеля, рекомендации продуктов и прогнозирование цен на акции.

непрерывная

Большинство исследований квантового ценообразования опционов обычно фокусируются на квантовании классического уравнения Блэка-Шоулза-Мертона с точки зрения непрерывных уравнений, таких как уравнение Шредингера . Эммануэль Хейвен опирается на работы Цзэцяня Чена и других. но рассматривает рынок с точки зрения уравнения Шрёдингера . Ключевая идея работы Хейвена заключается в том, что уравнение Блэка-Шоулза-Мертона на самом деле является частным случаем уравнения Шредингера, где рынки считаются эффективными. Уравнение Шредингера, полученное Хейвеном, имеет параметр ħ (не путать с комплексно-сопряженным параметром h ), который представляет собой объем арбитража, присутствующего на рынке в результате различных источников, включая небесконечно быстрые изменения цен. небесконечно быстрое распространение информации и неравномерное благосостояние торговцев. Хейвен утверждает, что, установив это значение соответствующим образом, можно получить более точную цену опциона, поскольку в действительности рынки не являются по-настоящему эффективными.

Это одна из причин, почему квантовая модель ценообразования опционов может быть более точной, чем классическая. Белал Э. Бааки опубликовал множество статей по квантовым финансам и даже написал книгу, в которой многие из них объединены. Основой исследований Бааки и других исследований, таких как Матач, являются Ричарда Фейнмана интегралы по путям .

Бааки применяет интегралы по траекториям к нескольким экзотическим вариантам и представляет аналитические результаты, сравнивая свои результаты с результатами уравнения Блэка – Шоулза – Мертона, показывая, что они очень похожи. Эдвард Пиотровски и др. применить другой подход, изменив предположение Блэка-Шоулза-Мертона относительно поведения акций, лежащих в основе опциона. Вместо того, чтобы предполагать, что это следует процессу Винера – Башелье , они предполагают, что это следует процессу Орнштейна – Уленбека . Приняв это новое предположение, они вывели модель квантового финансирования, а также формулу европейского колл-опциона.

Другие модели, такие как Халл-Уайт и Кокс-Ингерсолл-Росс, успешно использовали тот же подход в классической ситуации с производными процентными ставками. Андрей Хренников опирается на работу Хейвена и других и далее поддерживает идею о том, что предположение об эффективности рынка, сделанное уравнением Блэка-Шоулза-Мертона, может быть неприемлемым. Чтобы поддержать эту идею, Хренников опирается на систему контекстуальных вероятностей, используя агентов как способ преодолеть критику применения квантовой теории к финансам. Луиджи Аккарди и Андреас Букас снова квантуют уравнение Блэка-Шоулза-Мертона, но в этом случае они также считают, что в базовой акции присутствуют как броуновские, так и пуассоновские процессы.

биномиальная

Чен опубликовал статью в 2001 году. где он представляет квантовую биномиальную модель ценообразования опционов или просто сокращенно квантовую биномиальную модель. Образно говоря, квантовая биномиальная модель ценообразования опционов Чена (называемаядалее как квантовая биномиальная модель) для существующих моделей квантового финансирования является тем же, чем классическая биномиальная модель ценообразования опционов Кокса-Росса-Рубинштейна была для модели Блэка-Шоулза-Мертона: дискретизированной и более простой версией того же результата. Эти упрощения делают соответствующие теории не только более простыми для анализа, но и более простыми для реализации на компьютере.

Многошаговая

В многошаговой модели формула квантового ценообразования выглядит следующим образом:

$C_{0}^{N}=\mathrm {tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{+}]$,

что эквивалентно формуле биномиальной модели ценообразования опционов Кокса-Росса-Рубинштейна следующим образом:

$C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}{\frac {N!}{n!(N-n)!}}q^{n}{(1-q)}^{N-n}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}$.

Это показывает, что, если предположить, что акции ведут себя в соответствии со статистикой Максвелла-Больцмана , квантовая биномиальная модель действительно коллапсирует до классической биномиальной модели.

По мнению Кейта Мейера, квантовая волатильность выглядит следующим образом:

$\sigma ={\frac {\ln {(1+x_{0}+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}$.

Бозе

Статистику Максвелла – Больцмана можно заменить квантовой статистикой Бозе – Эйнштейна, что приведет к следующей формуле цены опциона:

$C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{N-n}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q)}^{N-k}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}$.

Уравнение Бозе-Эйнштейна будет давать цены опционов, которые будут отличаться от цен, полученных в результате опциона Кокса-Росса-Рубинштейна.формула ценообразования в определенных обстоятельствах. Это связано с тем, что акции рассматриваются как квантовая бозонная частица, а не как классическая частица.

ценообразования

Патрик Ребентрост показал в 2018 году, что существует алгоритм для квантовых компьютеров, способный оценивать производные финансовые инструменты с преимуществом квадратного корня по сравнению с классическими методами. Это развитие знаменует собой переход от использования квантовой механики для понимания функциональных финансов к использованию квантовых систем — квантовых компьютеров — для выполнения этих вычислений.

В 2020 году Дэвид Оррелл предложил модель ценообразования опционов, основанную на квантовом блуждании, которая может работать на фотонике.

Критика

В своем обзоре работы Бааки Ариоли и Валенте отмечают, что, в отличие от уравнения Шредингера, уравнение Блэка-Шоулза-Мертона не использует мнимых чисел. Поскольку квантовые характеристики в физике, такие как суперпозиция и запутанность, являются результатом мнимых чисел, численный успех Бааки должен быть результатом эффектов, отличных от квантовых. Риклз критикует работу Баакиса с экономической точки зрения: эмпирические экономические данные не случайны, поэтому они не нуждаются в объяснении квантовой случайности.

Внешние ссылки

• Квантовые финансы