Модель ценообразования биномиальных опционов

В финансах биномиальная модель ценообразования опционов ( BOPM ) представляет собой обобщаемый численный метод оценки опционов . По сути, модель использует модель «дискретного времени» ( на основе решетки ) изменяющейся во времени цены базового финансового инструмента, рассматривая случаи, когда в закрытой форме формула Блэка-Шоулза отсутствует.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в журнале «Инвестиции » за 1978 год . ISBN 013504605X ), ^[1] и формализовано Коксом , Россом и Рубинштейном в 1979 году. ^[2] и Рендлманом и Бартером в том же году. ^[3]

О биномиальных деревьях применительно к производным инструментам с фиксированным доходом и процентной ставкой см. Решетчатую модель (финансы) § Производные по процентным ставкам .

Использование модели [ править ]

Подход к модели ценообразования биномиальных опционов широко используется, поскольку он способен учитывать множество условий, к которым другие модели невозможно легко применить. Во многом это связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента за определенный период времени, а не на одной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов , которые можно исполнить в любой момент в течение заданного интервала, а также бермудских опционов , которые можно исполнить в определенные моменты времени. Будучи относительно простой, модель легко реализовать в компьютерном программном обеспечении (включая электронные таблицы ).

Хотя в вычислительном отношении она медленнее, чем формула Блэка-Шоулза , она более точна, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов . По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов. ^{[ нужна ссылка ]}

Для опционов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные опционы ) и для опционов со сложными характеристиками (например, азиатские опционы ) биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и модели опционов Монте-Карло вместо них обычно используются . При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет более трудоемким в вычислительном отношении, чем BOPM (см. Методы Монте-Карло в финансах ). Однако время выполнения BOPM в худшем случае составит O(2 ^н) , где n — количество временных шагов в моделировании. Симуляции Монте-Карло обычно имеют полиномиальную временную сложность и выполняются быстрее при большом количестве шагов моделирования. Моделирование Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более верным, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод [ править ]

function americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) 
{ 
  '  T... expiration time
  '  S... stock price
  '  K... strike price
  '  r... interest rate
  '  sigma... volatility of the stock price
  '  q... dividend yield
  '  n... height of the binomial tree
  deltaT := T / n;
  up := exp(sigma * sqrt(deltaT));
  p0 := (up^2 * exp(-q * deltaT) - up * exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1);
  p1 := exp(-r * deltaT) - p0;
  ' initial values at time T
  for i := 0 to n {
      p[i] := K - S * up^(2*i - n);
      if p[i] < 0 then p[i] := 0;
  }
  ' move to earlier times
  for j := n-1 down to 0 {
      for i := 0 to j {
          ' binomial value
          p[i] := p0 * p[i+1] + p1 * p[i];   
          ' exercise value
          exercise := K - S * up^(2*i - j);  
          if p[i] < exercise then p[i] := exercise;
      }
  }
  return americanPut := p[0];
}

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию ключевых переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датой оценки и датой истечения срока действия. Каждый узел в решетке представляет возможную цену базового актива в данный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из последних узлов (тех, которые могут быть достигнуты на момент истечения срока действия), а затем продвигаясь назад по дереву к первому узлу (дате оценки). Стоимость, рассчитанная на каждом этапе, представляет собой стоимость опциона в данный момент времени.

Оценка опциона с использованием этого метода, как описано, представляет собой трехэтапный процесс:

Генерация дерева цен,
Расчет стоимости опциона на каждом конечном узле,
Последовательный расчет стоимости опциона в каждом предшествующем узле.

Шаг 1: Создайте биномиальное дерево цен [ править ]

Дерево цен создается путем движения вперед от даты оценки до истечения срока действия.

На каждом этапе предполагается, что базовый инструмент будет двигаться вверх или вниз на определенный коэффициент ( $u$ или $d$ ) за шаг дерева (где по определению $u\geq 1$ и $0<d\leq 1$ ). Итак, если $S$ - текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо $S_{up}=S\cdot u$ или $S_{down}=S\cdot d$ .

Факторы роста и падения рассчитываются с использованием базовой волатильности . $\sigma$ и длительность шага, $t$ , измеряется в годах (с использованием правила подсчета дней базового инструмента). Из условия, что дисперсия логарифма цены равна $\sigma ^{2}t$ , у нас есть:

u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}

d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.

Выше представлен оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют различные другие методы создания решетки, такие как дерево «равных вероятностей», см. ^[4]^[5]

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, т.е. если базовый актив движется вверх, а затем вниз (u,d), цена будет такой же, как если бы он переместился вниз, а затем вверх (d,u) — здесь два пути сливаются или воссоединяются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и тем самым ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет рассчитывать стоимость базового актива в каждом узле непосредственно с помощью формулы и не требует предварительного построения дерева. Значение узла будет:

S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},

Где $N_{u}$ - это количество повышающихся тиков и $N_{d}$ это количество даун-тиков.

Шаг 2: Найдите значение параметра в каждом конечном узле [ править ]

В каждом последнем узле дерева, т. е. при истечении срока действия опциона, стоимость опциона представляет собой просто его внутреннюю стоимость, или стоимость исполнения:

Макс [ (S n - K), 0 ]

для опциона колл

Макс [(K - S n), 0 ]

, для опциона пут ,

Где $K$ — цена исполнения , а $S_{n}$ спотовая цена базового актива на момент $n$ ^й период.

Шаг 3: Найдите значение опции на более ранних узлах [ править ]

После завершения вышеуказанного шага значение опциона находится для каждого узла, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первому узлу дерева (дате оценки), где рассчитанный результат является значением опциона.

Вкратце: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием предположения о нейтральности риска ; см. Оценка, нейтральная к риску . Если в узле разрешено выполнение упражнений, то модель принимает большее из биномиального значения и значения исполнения в узле.

Шаги следующие:

Согласно предположению о нейтральности риска, сегодняшняя справедливая цена производного инструмента равна ожидаемой стоимости его будущих выплат, дисконтированной на безрисковую ставку . Таким образом, ожидаемая стоимость рассчитывается с использованием значений опционов из двух последних узлов ( Option up и Option down ), взвешенных по их соответствующим вероятностям — «вероятность» p актива вверх и «вероятность» (1−p) движения базового движение вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по ставке r , безрисковой соответствующей сроку действия опциона.
Следующая формула для расчета ожидаемого значения применяется в каждом узле:

${\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)$ , или

$C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,$

где

$C_{t,i}\,$ стоимость опциона для $i^{th}\,$ узел в момент времени $t$ ,

$p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}$ выбирается таким образом, чтобы соответствующее биномиальное распределение моделировало геометрическое броуновское движение базового запаса с параметрами r и σ ,

$q$ — дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Отсюда следует, что в нейтральном к риску мире цена фьючерса должна иметь ожидаемую нулевую скорость роста, и поэтому мы можем рассматривать $q=r$ для фьючерсов.

Заметим, что для того, чтобы $p$ находился в интервале $(0,1)$ следующее условие на $\Delta t$ должен быть удовлетворен $\Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}$ .

(Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, безарбитражное ценообразование, дает идентичные результаты; см. « Дельта-хеджирование ».)
Этот результат и есть «биномиальное значение». Он представляет собой справедливую цену дериватива в определенный момент времени (т. е. в каждом узле) с учетом изменения цены базового актива к этому моменту. Это стоимость опциона, если бы он был удержан, а не исполнен в этот момент.
В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения в каждом узле: если (1) опцион может быть исполнен и (2) стоимость исполнения превышает биномиальное значение, то (3) стоимость в узле равна ценность упражнения.
- Для европейского опциона нет возможности досрочного исполнения, и биномиальное значение применяется на всех узлах.
- Для американского опциона , поскольку опцион может быть удержан или исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле равно: Макс (биномиальное значение, значение исполнения).
- Для бермудского опциона стоимость в узлах, где разрешено досрочное исполнение, равна: Макс (биномиальное значение, значение исполнения); в узлах, где раннее исполнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При вычислении стоимости на следующем рассчитанном временном шаге, т. е. на один шаг ближе к оценке, модель должна использовать выбранное здесь значение для «Варианта вверх» или «Варианта вниз» в зависимости от ситуации в формуле в узле. в стороне Алгоритм демонстрирует подход к расчету цены американского опциона пут, хотя его легко обобщить для коллов, а также для европейских и бермудских опционов:

с Блэком Скоулзом - Отношения

Подобные предположения лежат в основе как биномиальной модели, так и модели Блэка-Шоулза , и, таким образом, биномиальная модель обеспечивает дискретного времени аппроксимацию непрерывного процесса, лежащего в основе модели Блэка-Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логарифмически нормальному распределению, предполагаемому Блэком-Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится к значению формулы Блэка – Шоулза по мере увеличения количества временных шагов. ^[4]^[5]

Кроме того, при анализе как численной процедуры биномиальный метод CRR можно рассматривать как частный случай явного метода конечных разностей Блэка – Шоулза для УЧП ; см. методы конечных разностей для определения цены опционов . ^[6]

См. также [ править ]

Триномиальное дерево , аналогичная модель с тремя возможными путями на узел.
Дерево (структура данных)
Решетчатая модель (финансы) для более общего обсуждения и применения к другим основам.
Блэка-Шоулза : биномиальные решетки способны обрабатывать множество условий, для которых невозможно применить Блэка-Шоулза.
Модель опционов Монте-Карло , используемая при оценке опционов со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку другими методами.
Анализ реальных опционов , где широко используется BOPM.
Квантовые финансы , квантовая биномиальная модель ценообразования.
Математические финансы , где есть список связанных статей.
Опцион на акции для сотрудников § Оценка , где широко используется BOPM.
Подразумеваемое биномиальное дерево
Биномиальное дерево Эджворта

Ссылки [ править ]

^ Уильям Ф. Шарп, биографический , nobelprize.org
^ Кокс, Джей Си ; Росс, ЮАР ; Рубинштейн, М. (1979). «Ценообразование опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . дои : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 .
^ Ричард Дж. Рендлман-младший и Брит Дж. Бартер. 1979. «Ценообразование опционов с двумя состояниями». Финансовый журнал 24: 1093-1110. дои : 10.2307/2327237
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Марк С. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для определения цены американского пут-опциона
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чанс, Дон М. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования опционов для логарифмически нормально распределенных активов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, Vol. 18
^ Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов» . Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149 . S2CID 11743572 . Архивировано из оригинала 22 июня 2007 года.

Внешние ссылки [ править ]

Биномиальная модель ценообразования , профессор Тайер Уоткинс
Биномиальное ценообразование опционов ( PDF ), профессор Роберт М. Конрой
Модель ценообразования биномиальных опционов , автор Фиона Маклахлан, Демонстрационный проект Wolfram
О несущественности ожидаемой доходности акций при ценообразовании опционов в биномиальной модели: Педагогическая заметка Валерия Закамулина
Простой вывод нейтральной к риску вероятности в биномиальной модели ценообразования опционов Грега Ороси

[1] Уильям Ф. Шарп, биографический , nobelprize.org

[2] Кокс, Джей Си ; Росс, ЮАР ; Рубинштейн, М. (1979). «Ценообразование опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . дои : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 .

[3] Ричард Дж. Рендлман-младший и Брит Дж. Бартер. 1979. «Ценообразование опционов с двумя состояниями». Финансовый журнал 24: 1093-1110. дои : 10.2307/2327237

[Joshi-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Марк С. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для определения цены американского пут-опциона

[Chance-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чанс, Дон М. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования опционов для логарифмически нормально распределенных активов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, Vol. 18

[6] Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов» . Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149 . S2CID 11743572 . Архивировано из оригинала 22 июня 2007 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]