Паритет пут-колл

В финансовой математике паритет пут-колл определяет взаимосвязь между ценой европейского колл-опциона и европейского пут-опциона с одинаковой ценой исполнения и сроком действия, а именно, что портфель длинного опциона колл и короткого опциона пут эквивалентен. (и, следовательно, имеет ту же стоимость, что и) одиночный форвардный контракт по этой цене исполнения и сроку действия. Это связано с тем, что если цена на момент истечения срока действия выше цены исполнения, будет исполнен колл, а если она ниже, будет исполнен пут, и, таким образом, в любом случае одна единица актива будет куплена по цене исполнения. точно так же, как в форвардном контракте.

Обоснованность этих отношений требует выполнения определенных предположений; они указаны, и взаимосвязь выведена ниже. На практике транзакционные издержки и затраты на финансирование (леверидж) означают, что эта зависимость не будет точно соблюдаться, но на ликвидных рынках эта связь близка к точной.

Предположения

Паритет пут-колл представляет собой статическую репликацию и, следовательно, требует минимальных допущений форвардного контракта . В отсутствие торгуемых форвардных контрактов форвардный контракт может быть заменен (фактически, сам по себе воспроизведен) возможностью купить базовый актив и профинансировать его путем заимствования на фиксированный срок (например, заимствования облигаций) или, наоборот, заимствовать и продавать ( Короче говоря) базовый актив и заем полученных денег на определенный срок, в обоих случаях образуя самофинансируемый портфель .

Эти предположения не требуют каких-либо транзакций между начальной датой и истечением срока действия и, таким образом, значительно слабее, чем предположения модели Блэка-Шоулза , которая требует динамической репликации и непрерывных транзакций в базовом активе.

Репликация предполагает, что можно заключать сделки с производными инструментами, что требует кредитного плеча (и капитальных затрат для его обеспечения), а покупка и продажа влекут за собой транзакционные издержки , в частности, спред между ценой покупки и продажи . Таким образом, эти отношения сохраняются только на идеальном свободном рынке с неограниченной ликвидностью. Однако реальные мировые рынки могут быть достаточно ликвидными, чтобы соотношение было близким к точному, особенно это касается валютных рынков основных валют или основных фондовых индексов, при отсутствии рыночной турбулентности.

Заявление

Паритет пут-колл можно сформулировать множеством эквивалентных способов, наиболее кратко следующим образом:

C-P=D\cdot (F-K)

где $C$ (текущая) стоимость вызова, $P$ (текущая) стоимость пут-опциона, $D$ это коэффициент дисконтирования , $F$ - форвардная цена базового актива, и $K$ это страйк-цена. Левая часть соответствует портфелю длинного колла и короткого пут-опциона; правая часть соответствует форвардному контракту. Активы $C$ и $P$ слева указаны в текущей стоимости, а активы $F$ и $K$ даны в будущих ценах (форвардная цена актива и цена исполнения, выплачиваемая при истечении срока), которые коэффициент дисконтирования $D$ преобразуется в текущую стоимость.

Теперь спотовая цена $S=D\cdot F$ можно получить дисконтированием форвардной цены $F$ по фактору $D$ . Использование спотовой цены $S$ вместо форвардной цены $F$ дает нам:

C-P=S-D\cdot K

.

Перестановка терминов дает первую интерпретацию:

C+D\cdot K=P+S

.

Здесь левая часть — это фидуциарный колл , который представляет собой длинный колл и достаточно денежных средств (или облигаций), чтобы его исполнить, заплатив цену исполнения. Правая часть — это женатый пут , который представляет собой длинный пут в паре с активом, так что актив может быть продан по цене исполнения при исполнении. По истечении срока действия внутренняя стоимость опциона исчезает, поэтому обе стороны получают выигрыш. $\max(K,S)$ равна как минимум страйк-цене $K$ или значение $S$ актива, если выше.

То, что длинный колл с наличными эквивалентен длинному пут с активом, является одним из значений паритета пут-колл.

Перестановка терминов другим способом дает нам вторую интерпретацию:

D\cdot K-P=S-C

.

Теперь левая часть представляет собой пут, обеспеченный наличными, то есть короткий пут и достаточно денег, чтобы дать владельцу пут-опциона в случае его исполнения. Правая часть представляет собой покрытый колл , который представляет собой короткий колл в паре с активом, где актив готов быть отозван владельцем колла в случае его исполнения. По истечении срока действия предыдущий сценарий переворачивается. Обе стороны теперь имеют выигрыш $\min(K,S)$ равна либо страйк-цене $K$ или значение $S$ актива, в зависимости от того, что меньше .

Итак, мы видим, что паритет пут-колл также можно понимать как эквивалент обеспеченного наличными (короткого) пут-опциона и покрытого (короткого) колл-опциона. Это может показаться удивительным, поскольку продажа пут-опциона, обеспеченного наличными, обычно считается более рискованной, чем продажа покрытого колл-опциона. ^{[ 1 ]}

Чтобы прояснить временную стоимость денежных средств и временную зависимость финансовых переменных, исходное уравнение паритета пут-колл можно сформулировать следующим образом:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

где

C(t)

стоимость вызова в момент времени

t

,

P(t)

- стоимость опциона пут с той же датой истечения,

S(t)

спотовая цена базового актива,

K

- это страйк-цена, и

B(t,T)

— это текущая стоимость бескупонной облигации со сроком погашения до 1 доллара в определенный момент времени.

T

, то есть коэффициент дисконтирования для

K.

Обратите внимание, что правая часть уравнения также представляет собой цену покупки форвардного контракта на акцию с ценой поставки. $K$ . Таким образом, один из способов прочитать уравнение состоит в том, что портфель, в котором есть длинная позиция по колл и короткая позиция по путу, аналогичен длинной позиции по форварду. В частности, если базовый актив не торгуется, но на него существуют форварды, мы можем заменить выражение в правой части ценой форварда.

Если процентная ставка по облигациям , $r$ , считается постоянным, тогда

B(t,T)=e^{-r(T-t)}

Примечание: $r$ относится к силе процента , которая примерно равна эффективной годовой ставке для небольших процентных ставок. Однако следует быть осторожным с аппроксимацией, особенно при больших темпах и больших периодах времени. Найти $r$ именно, используйте $r=\ln(1+i)$ , где $i$ – эффективная годовая процентная ставка.

При оценке европейских опционов, выпущенных на акции с известными дивидендами, которые будут выплачены в течение срока действия опциона, формула принимает следующий вид:

C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

где $D(t)$ представляет собой общую стоимость дивидендов по одной акции, подлежащих выплате в течение оставшегося срока действия опционов, дисконтированную до приведенной стоимости .

Мы можем переписать уравнение так:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)

и обратите внимание, что правая часть — это цена форвардного контракта на акцию с ценой поставки $K$ , как и раньше.

Вывод

Предположим, что опционы пут и колл относятся к торгуемым акциям, но базовым активом может быть любой другой торгуемый актив. Возможность покупать и продавать базовый актив имеет решающее значение для приведенного ниже аргумента об отсутствии арбитража.

возможностей нет Во-первых, обратите внимание, что в предположении, что арбитражных (цены безарбитражны ), два портфеля, которые всегда имеют одинаковую выплату в момент времени T, должны иметь одинаковую стоимость в любой предыдущий момент времени. Чтобы доказать это, предположим, что в какой-то момент t до T один портфель был дешевле другого. Тогда можно было бы купить (открыть длинную позицию) более дешевый портфель и продать (открыть короткую позицию) более дорогой. В момент времени T наш общий портфель при любом значении цены акций будет иметь нулевую стоимость (все активы и обязательства погашаются). Таким образом, прибыль, которую мы получили в момент времени t, является безрисковой прибылью, но это нарушает наше предположение об отсутствии арбитража.

Мы получим соотношение паритета «пут-колл», создав два портфеля с одинаковыми доходами ( статическая репликация ) и применив вышеуказанный принцип ( рациональное ценообразование ).

Рассмотрим опцион колл и опцион пут с одинаковым страйком K и сроком действия в одну и ту же дату T на некоторые акции S , по которым не выплачиваются дивиденды. Мы предполагаем существование облигации , которой выплачивается 1 доллар в момент погашения T. по Цена облигации может быть случайной (как и акции), но при погашении она должна равняться 1.

Пусть цена S равна S(t) в момент времени t. Теперь соберите портфель, купив опцион колл и продав опцион P пут с тем же сроком погашения T и страйком K. C Выплата по этому портфелю равна S(T) - K. Теперь соберите второй портфель, купив одну акцию и заняв K облигаций. Обратите внимание, что выплата последнего портфеля также равна S(T) - K в момент времени T , поскольку наша акция, купленная за (t), будет стоить S(T), а заемные облигации будут стоить K. S

По нашему предварительному наблюдению, что одинаковые выплаты означают, что оба портфеля должны иметь одинаковую цену в общий момент времени. $t$ Между стоимостью различных инструментов существует следующая связь:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,

Таким образом, при отсутствии арбитражных возможностей вышеуказанное соотношение, известное как паритет пут-колл , сохраняется, и для любых трех цен колл, пут, облигаций и акций можно вычислить подразумеваемую цену четвертой.

В случае дивидендов модифицированная формула может быть получена аналогично приведенной выше, но с той поправкой, что один портфель состоит из длинной позиции колл, короткой позиции пут и длинной позиции D(T) облигаций, каждая из которых платит 1 доллар. при сроке погашения T (облигации будут стоить D(t) в момент t ); другой портфель такой же, как и раньше: длинная акция на одну акцию и короткие K облигаций, каждая из которых платит 1 доллар по T. цене Разница в том, что в момент времени T акции не только стоят S(T), но и выплатили D(T) в виде дивидендов.

История

Формы паритета пут-колл появились на практике еще в средние века и были формально описаны рядом авторов в начале 20 века.

Майкл Нолл в книге «Древние корни современных финансовых инноваций: ранняя история регулятивного арбитража » описывает важную роль, которую паритет «пут-колл» сыграл в развитии справедливости погашения , определяющей характеристики современной ипотеки, в средневековой Англии.

В 19 веке финансист Рассел Сейдж использовал паритет «пут-колл» для создания синтетических кредитов с более высокими процентными ставками, чем обычно допускали законы о ростовщичестве того времени. ^{[ нужна ссылка ]}

Нельсон, опционный арбитражный трейдер из Нью-Йорка, в 1904 году опубликовал книгу «Азбука опционов и арбитража», в которой подробно описывается паритет пут-колл. Его книга была вновь открыта Эспеном Гордером Хаугом в начале 2000-х годов, и многие ссылки из книги Нельсона приведены в книге Хауга «Модели производных моделей».

Генри Дойч описывает паритет пут-колл в 1910 году в своей книге «Арбитраж в слитках, монетах, векселях, акциях, акциях и опционах, 2-е издание». Лондон: Энгам Уилсон, но менее подробно, чем Нельсон (1904).

Профессор математики Винценц Бронзин также вывел паритет пут-колл в 1908 году и использовал его как часть своего арбитражного аргумента для разработки серии математических моделей опционов при ряде различных распределений. Работа профессора Бронцина совсем недавно была заново открыта профессором Вольфгангом Хафнером и профессором Хайнцем Циммерманном. Оригинальная работа Бронзина представляет собой книгу, написанную на немецком языке и теперь переведенную и опубликованную на английском языке в отредактированной работе Хафнера и Циммермана («Модели ценообразования опционов Винценца Бронзина», Springer Verlag ).

Его первое описание в современной академической литературе было сделано Гансом Р. Столлом в журнале «Финансы» . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Подразумеваемое

Паритет пут-колл подразумевает:

Эквивалентность колл-опционов и пут-опционов . Паритет подразумевает, что колл-опцион и пут-опцион могут быть взаимозаменяемыми в любом дельта-нейтральном портфеле. Если $d$ это дельта колла, затем покупка колла и продажа $d$ акций — это то же самое, что продать опцион «пут» и продать $1-d$ акции акций. Эквивалентность коллов и путов очень важна при торговле опционами. ^{[ нужна ссылка ]}
Паритет подразумеваемой волатильности : при отсутствии дивидендов или других издержек на перенос (например, когда акции трудно занять или продать без покрытия), подразумеваемая волатильность опционов колл и пут должна быть идентична. ^{[ 4 ]}

См. также

Ссылки

^ Ноэль, Мартин (17 мая 2017 г.). «Паритет колл-пут: как трансформировать свои позиции» . OptionMatters.ca . Биржа Монреаля Inc.
^ Столл, Ганс Р. (декабрь 1969 г.). «Взаимосвязь между ценами опционов пут и колл». Журнал финансов . 24 (5): 801–824. дои : 10.2307/2325677 . JSTOR 2325677 .
^ Цитируется, например, в Дерман, Эмануэль; Талеб, Нассим Николас (2005). «Иллюзии динамической репликации». Количественные финансы . 5 (4): 323–326. дои : 10.1080/14697680500305105 . S2CID 154820481 .
^ Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . стр. 330–331 . ISBN 0-13-009056-5 .

Внешние ссылки

Паритет пут-колл
- Паритет пут-колл , руководство Салмана Хана (преподаватель)
- Паритет пут-колл и возможности арбитража ,investopedia.com
- Древние корни современных финансовых инноваций: ранняя история регулятивного арбитража , история паритета пут-колл Майкла Нолла
Другие арбитражные отношения
- Арбитражные отношения для опционов , профессор Тайер Уоткинс
- Рациональные правила и граничные условия ценообразования опционов ( PDFDi ), профессор Дон М. Ченс
- Отсутствие арбитражных ограничений для опционов , профессор Роберт Нови-Маркс
Инструменты
- Опционные арбитражные отношения , профессор Кэмпбелл Р. Харви

[1] Ноэль, Мартин (17 мая 2017 г.). «Паритет колл-пут: как трансформировать свои позиции» . OptionMatters.ca . Биржа Монреаля Inc.

[2] Столл, Ганс Р. (декабрь 1969 г.). «Взаимосвязь между ценами опционов пут и колл». Журнал финансов . 24 (5): 801–824. дои : 10.2307/2325677 . JSTOR 2325677 .

[3] Цитируется, например, в Дерман, Эмануэль; Талеб, Нассим Николас (2005). «Иллюзии динамической репликации». Количественные финансы . 5 (4): 323–326. дои : 10.1080/14697680500305105 . S2CID 154820481 .

[JHull-4] Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие деривативы (5-е изд.). Прентис Холл . стр. 330–331 . ISBN 0-13-009056-5 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]