Своп волатильности

В финансах волатильный своп представляет собой форвардный контракт на будущую реализованную волатильность данного базового актива. Свопы волатильности позволяют инвесторам торговать волатильностью актива напрямую, так же, как они торгуют индексом цен. Его выигрыш на момент экспирации равен

$(\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}$

где:

• $\sigma _{\text{realised}}$ — годовая реализованная волатильность,
• $K_{\text{vol}}$ это страйк волатильности, и
• $N_{\text{vol}}$ это заранее оговоренная условная сумма.

то есть держатель волатильного свопа получает $N_{\text{vol}}$ за каждый пункт, на который годовая реализованная волатильность базового актива $\sigma _{\text{realised}}$ превысила стоимость доставки $K_{\text{vol}}$и наоборот, платит $N_{\text{vol}}$ для каждого пункта реализованная волатильность отстает от страйка.

Базисом обычно является финансовый инструмент с активным или ликвидным рынком опционов , например, иностранная валюта , фондовые индексы или отдельные акции. В отличие от инвестиций в опционы, подверженность волатильности которых загрязнена ценовой зависимостью, эти свопы обеспечивают чистый риск только волатильности. На самом деле это справедливо только для форвардных стартовых волатильных свопов. Однако, как только своп имеет фиксированные активы, его рыночная стоимость также зависит от текущей цены актива. Эти инструменты можно использовать для спекуляций на будущих уровнях волатильности, для торговли спредом между реализованной и подразумеваемой волатильностью или для хеджирования волатильности других позиций или предприятий.

Свопы на волатильность чаще котируются и торгуются, чем очень похожие, но более простые свопы на отклонения , которые можно воспроизвести с помощью линейной комбинации опционов и динамической позиции во фьючерсах. Разница между ними заключается в выпуклости: выигрыш от дисперсионного свопа линеен в зависимости от дисперсии, но выпукл в зависимости от волатильности. Это неизбежно означает, что статическая репликация (стратегия «купи и держи») волатильного свопа невозможна. Однако, используя обмен дисперсии ( $\Sigma _{T}^{2}$) в качестве инструмента хеджирования и таргетирования волатильности ( $\Sigma _{T}$), волатильность можно записать как функцию дисперсии:

$\Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b$

и $a$ и $b$ выбрано для минимизации ожидаемого квадратичного отклонения двух сторон:

${\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]$

тогда, если вероятность отрицательной реализованной волатильности незначительна, будущие волатильности можно считать нормальными со средним значением ${\bar {\Sigma }}$ и стандартное отклонение $\sigma _{\Sigma }$:

$\Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })$

тогда коэффициенты хеджирования будут:

$a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{\bar {\Sigma }}}}}$

$b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}$

Определение реализованной волатильности

Определение реализованной волатильности в годовом исчислении зависит от точки зрения трейдеров на базовое наблюдение за ценами, которое может происходить дискретно или непрерывно во времени. Для первого, с конструкцией, аналогичной конструкции дисперсионного обмена , если существуют $n+1$ точки выборки наблюдаемых базовых цен, говорит, $S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}$где $0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T$для $i=1$ к $n$. Определять $R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),$ естественный журнал возвращается.Тогда годовая реализованная волатильность дискретной выборки определяется выражением

• $\sigma _{\text{realised}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},$

что по сути представляет собой квадратный корень реализованной дисперсии в годовом исчислении . Здесь, $A$ обозначает годовой коэффициент, который обычно выбирается в качестве числа наблюдаемых цен за год, т.е. $A=252$ если цена отслеживается ежедневно или $A=52$ если это делается еженедельно. $T$ — дата истечения срока действия волатильного свопа, определяемая $n/A$.

Непрерывная версия годовой реализованной волатильности определяется посредством квадратного корня квадратичного изменения логарифмической доходности базовой цены:

• ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},$

где $\sigma (s)$ – это мгновенная волатильность базового актива. Как только количество наблюдений за ценой увеличится до бесконечности, можно обнаружить, что $\sigma _{\text{realised}}$ сходится по вероятности к ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}$ т.е.

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},$

отражая взаимосвязь и последовательность между двумя подходами.

Ценообразование и оценка

В общем, для определенного базового актива основная цель ценообразования свопов состоит в том, чтобы найти справедливую цену исполнения, поскольку заключение контракта не требует никаких затрат. Одним из наиболее популярных подходов к такой справедливости является использование метода ценообразования Мартингейла , который представляет собой метод определения ожидаемой текущей стоимости данной производной ценной бумаги относительно некоторой нейтральной к риску вероятностной меры (или меры Мартингейла). И то, как будет выбрана такая мера, зависит от модели, используемой для описания эволюции цен.

Говоря математическим языком, если предположить, что процесс ценообразования $S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}$ следует модели Блэка-Шоулза с учетом меры мартингала $\mathbb {Q}$, то он решает следующую СДУ:

${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0$

где:

• $T$ представляет дату истечения срока действия своп-контракта,
• $r(t)\in \mathbb {R}$ (зависящая от времени) безрисковая процентная ставка,
• $\sigma (t)>0$ (зависит от времени) волатильность цен, и
• $W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ является броуновским движением в фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )$ где $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}$ это естественная фильтрация $W$.

Поскольку мы знаем, что $(\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}$ — это выплата по волатильному свопу по истечении срока в случае с дискретной выборкой (который переключается на ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}$ для непрерывного случая), то его ожидаемое значение в момент времени $t_{0}$, обозначенный $V_{t_{0}}$ является

$V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}},$

что дает

$K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]$

из-за нулевой цены свопа, определяющей стоимость страйка справедливой волатильности. Решение можно найти разными способами. Например, мы получаем формулу ценообразования в закрытой форме, когда распределения вероятностей функция $\sigma }_{\text{realized}$ или ${\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}$ известно, или вычислить его численно с помощью метода Монте-Карло . В качестве альтернативы, при определенных ограничениях, можно использовать ценность европейских вариантов для приближения к решению.

Своп волатильности цен с непрерывной выборкой

Что касается аргумента Карра и Ли (2009): в случае реализованной волатильности с непрерывной выборкой, если мы предположим, что контракт начинается в момент времени $t_{0}=0$, $r(t)$ является детерминированным и $\sigma (t)$ является произвольным (детерминированным или случайным процессом), но не зависит от движения цены, т.е. нет корреляции между $\sigma (t)$ и $S_{t}$и обозначается $C_{t}(K,T)$ формула Блэка-Шоулза для европейского опциона колл, написанная на $S_{t}$ с ценой исполнения $K$ во время $t,\;0\leq t\leq T$ со сроком годности $T$, то по вспомогательности опциона колл, выбранного как «при деньгах», т.е. $K=S_{0}$, удар волатильности $K_{\text{vol}}$ можно аппроксимировать функцией

$K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[{\tilde {\sigma }}_{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{T}}}{\frac {C_{0}(S_{0},T)}{S_{0}}}-2r(T)$

который является результатом применения ряда Тейлора к частям нормального распределения формулы Блэка-Шоулза .

См. также

• Своп отклонений
• Волатильность (финансы)
• Форвардная волатильность
• Опцион на реализованную дисперсию

Внешние ссылки

• Готовые игры на волатильности