Форвардная волатильность

Форвардная волатильность — это мера подразумеваемой волатильности финансового инструмента в течение определенного периода в будущем, извлекаемая из временной структуры волатильности (которая показывает, как подразумеваемая волатильность различается для связанных финансовых инструментов с разными сроками погашения).

Основной принцип

Дисперсия представляет собой квадрат разностей измерений от среднего значения , деленный на количество образцов. Стандартное отклонение это квадратный корень дисперсии — . Стандартное отклонение непрерывно начисляемой доходности финансового инструмента называется волатильностью .

(Ежегодная) волатильность цены или ставки данного актива в течение срока, начинающегося с $t_{0}=0$ соответствует спотовой волатильности базового актива на конкретный срок. Совокупность таких волатильностей образует временную структуру волатильности, аналогичную кривой доходности . Точно так же, как форвардные ставки могут быть получены из кривой доходности, форвардная волатильность может быть получена из заданной временной структуры волатильности.

Вывод

Учитывая, что основные случайные величины для неперекрывающихся интервалов времени независимы , дисперсия является аддитивной (см. дисперсию ). Таким образом, для годовых срезов мы имеем годовую волатильность как

${\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2}+\sigma _{j-1,j}^{2})\\\Rightarrow \sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-\sum _{k=1}^{j-1}\sigma _{k-1,k}^{2}}},\end{aligned}}$

где

$j=1,2,\ldots$ количество лет и коэффициент ${\frac {1}{j}}$ масштабирует дисперсию, чтобы она была ежегодной

$\sigma _{i,\,j}$ — текущая (в момент времени 0) форвардная волатильность за период $[i,\,j]$

$\sigma _{0,\,j}$ спотовая волатильность при погашении $j$.

Чтобы упростить вычисления и получить нерекурсивное представление, мы также можем выразить форвардную волатильность непосредственно через спотовую волатильность:

${\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-1,j}^{2})\\&={\frac {j-1}{j}}\cdot {\frac {1}{j-1}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2})+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\&={\frac {j-1}{j}}\,\sigma _{0,j-1}^{2}+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\\Rightarrow {\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}&=\sigma _{0,j}^{2}-{\frac {(j-1)}{j}}\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}^{2}&=j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}}}\end{aligned}}$

Следуя той же логике рассуждений, мы получаем в общем случае с $t_{0}<t<T$ для форвардной волатильности, наблюдаемой в данный момент $t_{0}$:

$\sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {(T-t_{0})\sigma _{t_{0},T}^{2}-(t-t_{0})\sigma _{t_{0},t}^{2}}{T-t}}}$,

что упрощается в случае $t_{0}=0$ к

$\sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {T\sigma _{0,T}^{2}-t\sigma _{0,t}^{2}}{T-t}}}$.

Пример

Волатильность рынка за 90 дней составляет 18%, за 180 дней 16,6%. В наших обозначениях мы имеем $\sigma _{0,\,0.25}$ = 18% и $\sigma _{0,\,0.5}$ = 16,6% (считая год равным 360 дням). Мы хотим найти форвардную волатильность за период, начиная с дня 91 и заканчивая днем ​​180. Используя приведенную выше формулу и настройку $t_{0}=0$ мы получаем

$\sigma _{0.25,\,0.5}={\sqrt {\frac {0.5\cdot 0.166^{2}-0.25\cdot 0.18^{2}}{0.25}}}=0.1507\approx 15.1\%$.