Модель Блэка – Шоулза

Блэк –Шоулз / ˌ b l æ k ˈ ʃ oʊ l z / или модель Блэка – Шоулза – Мертона – это математическая модель динамики финансового рынка, содержащего производные инвестиционные инструменты. Из параболического уравнения в частных производных в модели, известного как уравнение Блэка-Шоулза , можно вывести формулу Блэка-Шоулза , которая дает теоретическую оценку цены европейского типа опционов и показывает, что опцион имеет уникальную цену, заданную риск ценной бумаги и ее ожидаемая доходность (вместо замены ожидаемой доходности ценной бумаги нейтральной к риску ставкой). Уравнение и модель названы в честь экономистов Фишера Блэка и Майрона Шоулза . Иногда также упоминают Роберта Мертона , который первым написал научную статью по этой теме.

Основной принцип модели заключается в хеджировании опциона путем покупки и продажи базового актива определенным образом для устранения риска. Этот тип хеджирования называется «непрерывно пересматриваемым дельта-хеджированием » и является основой более сложных стратегий хеджирования, например тех, которые используются инвестиционными банками и хедж-фондами .

Модель широко используется, хотя и часто с некоторыми корректировками, участниками опционного рынка. Допущения модели были смягчены и обобщены во многих направлениях, что привело к появлению множества моделей, которые в настоящее время используются в ценообразовании производных финансовых инструментов и управлении рисками. Результаты модели, иллюстрированные формулой Блэка-Шоулза , часто используются участниками рынка в отличие от фактических цен. Эти идеи включают в себя отсутствие арбитражных ограничений и ценообразование, нейтральное к риску (благодаря постоянному пересмотру). Кроме того, уравнение Блэка-Шоулза, уравнение в частных производных, которое определяет цену опциона, позволяет устанавливать цену с использованием численных методов , когда явная формула невозможна.

Формула Блэка-Шоулза имеет только один параметр, который нельзя непосредственно наблюдать на рынке: среднюю будущую волатильность базового актива, хотя ее можно найти по цене других опционов. Поскольку стоимость опциона (пут или колл) увеличивается в этом параметре, ее можно инвертировать для создания « поверхности волатильности », которая затем используется для калибровки других моделей, например, для внебиржевых деривативов .

История

Экономисты Фишер Блэк и Майрон Шоулз продемонстрировали в 1968 году, что динамический пересмотр портфеля устраняет ожидаемую доходность ценных бумаг, тем самым изобрели аргумент, нейтральный к риску . Они основывали свое мышление на работе, ранее проделанной исследователями рынка и практиками, включая Луи Башелье , Шина Кассуфа и Эдварда О. Торпа . Затем Блэк и Скоулз попытались применить эту формулу к рынкам, но понесли финансовые потери из-за отсутствия управления рисками в своих сделках. В 1970 году они решили вернуться в академическую среду. После трех лет усилий формула, названная в честь их обнародования, была наконец опубликована в 1973 году в статье под названием «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» в « Журнале политической экономии» . Роберт К. Мертон был первым, кто опубликовал статью, расширяющую математическое понимание модели ценообразования опционов, и ввел термин « модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза ».

Формула привела к буму торговли опционами и обеспечила математическую легитимность деятельности Чикагской биржи опционов и других опционных рынков по всему миру.

Мертон и Скоулз получили Нобелевскую премию по экономике в 1997 году за свою работу, а комитет назвал их открытие нейтрального к риску динамического пересмотра прорывом, который отделяет опцион от риска базовой ценной бумаги. упомянула его в качестве участника Хотя Блэк не имел права на получение премии из-за своей смерти в 1995 году, Шведская академия .

Фундаментальные гипотезы

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что рынок состоит как минимум из одного рискованного актива, обычно называемого акциями, и одного безрискового актива, обычно называемого денежным рынком , денежными средствами или облигациями .

В отношении активов сделаны следующие предположения (которые относятся к названиям активов):

• Безрисковая ставка: доходность безрискового актива постоянна и поэтому называется безрисковой процентной ставкой .
• Случайное блуждание: мгновенный логарифмический возврат цены акции представляет собой бесконечно малое случайное блуждание с дрейфом; точнее, цена акций следует геометрическому броуновскому движению , и предполагается, что дрейф и волатильность этого движения постоянны. Если дрейф и волатильность изменяются во времени, можно вывести соответствующим образом модифицированную формулу Блэка-Шоулза, при условии, что волатильность не является случайной.
• Акции не приносят дивидендов .

Предположения о рынке следующие:

• Нет возможности арбитража (т. е. нет возможности получить безрисковую прибыль).
• Возможность брать и одалживать любую сумму денег, даже дробную, по безрисковой ставке.
• Возможность покупать и продавать любое количество акций, даже дробное (включая короткие продажи ).
• Вышеупомянутые транзакции не влекут за собой никаких комиссий или издержек (т. е. безупречный рынок ).

Предположим, что на этом рынке также торгуются производные ценные бумаги. Уточняется, что эта ценная бумага будет иметь определенную выплату в определенную дату в будущем, в зависимости от стоимости акций до этой даты. Хотя путь, по которому пойдет цена акций в будущем, неизвестен, цену дериватива можно определить в настоящее время. Для частного случая европейского опциона колл или пут Блэк и Скоулз показали, что «можно создать хеджированную позицию , состоящую из длинной позиции по акции и короткой позиции по опциону, стоимость которой не будет зависеть от цена акции». Их стратегия динамического хеджирования привела к созданию дифференциального уравнения в частных производных, которое определяет цену опциона. Ее решение дается формулой Блэка–Шоулза.

Некоторые из этих предположений исходной модели были удалены в последующих расширениях модели. Современные версии учитывают динамические процентные ставки (Мертон, 1976). трансакционные издержки и налоги (Ingersoll, 1976), и выплата дивидендов.

Обозначения

Обозначения, используемые при анализе модели Блэка-Шоулза, определяются следующим образом (определения сгруппированы по темам):

Общие и рыночные:

$t$ время в годах; с $t=0$ обычно представляет текущий год.

$r$ — это годовая безрисковая процентная ставка , непрерывно начисляемая (также известная как сила процента ).

Связанные с активами:

$S(t)$ — цена базового актива в момент времени t , также обозначаемая как $S_{t}$.

$\mu$ это дрейфа скорость $S$, в годовом исчислении.

$\sigma$ — стандартное отклонение доходности акций. Это квадратный корень квадратичного изменения логарифма цены акции, мера ее волатильности .

Связанный вариант:

$V(S,t)$ - цена опциона как функция базового актива S в момент времени t, в частности:

$C(S,t)$ цена европейского опциона колл и

$P(S,t)$ — цена европейского пут-опциона.

$T$ время истечения опциона.

$\tau$ время до погашения: $\tau =T-t$.

$K$ — это цена исполнения опциона, также известная как цена исполнения.

$N(x)$ обозначает стандартную нормальную кумулятивную функцию распределения :

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.$

$N'(x)$ обозначает стандартную нормальную функцию плотности вероятности :

$N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.$

–

Основная статья: уравнение Блэка – Шоулза

Моделирование геометрических броуновских движений с параметрами из рыночных данных

Уравнение Блэка – Шоулза представляет собой параболическое уравнение в частных производных , которое описывает цену $V(S,t)$ варианта, где $S$ цена базового актива и $t$ это время:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

Ключевая финансовая идея, лежащая в основе этого уравнения, заключается в том, что можно идеально хеджировать опцион, покупая и продавая базовый актив и актив банковского счета (наличные) таким образом, чтобы «устранить риск». Это означает, что для опциона, заданного формулой Блэка–Шоулза, существует уникальная цена (см. следующий раздел ).

Формула Блэка-Шоулза

Европейский колл, оцененный с использованием уравнения ценообразования Блэка-Шоулза для различной цены актива. $S$ и срок годности $T$. В этом конкретном примере цена исполнения установлена ​​равной 1.

Формула Блэка-Шоулза рассчитывает цену европейских пут и опционов колл . Эта цена соответствует уравнению Блэка – Шоулза. Это следует из того, что формулу можно получить , решив уравнение для соответствующих терминальных и граничных условий :

${\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}$

Стоимость опциона колл на базовую акцию, не приносящую дивидендов, с точки зрения параметров Блэка-Шоулза равна:

${\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}$

Цена соответствующего опциона пут на основе паритета пут-колл с коэффициентом дисконтирования. $e^{-r(T-t)}$ является:

${\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}}\,$

Альтернативная

Введение вспомогательных переменных позволяет упростить формулу и переформулировать ее в более удобном виде (это частный случай формулы Блэка '76 ):

${\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}$

где:

$D=e^{-r\tau }$ это коэффициент дисконтирования

$F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}$ - форвардная цена базового актива, и $S=DF$

Учитывая паритет пут-колл, который выражается в следующих терминах:

$C-P=D(F-K)=S-DK$

Стоимость опциона пут составляет:

$P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]$

Интерпретация

Можно иметь интуитивную интерпретацию формулы Блэка-Шоулза, при этом основная тонкость заключается в интерпретации $d_{\pm }$ и почему существуют два разных термина.

Формулу можно интерпретировать, сначала разложив опцион колл на разницу двух бинарных опционов : колл «актив или ничего» минус колл «деньги или ничего» (длинный колл «актив или ничего», короткий колл «деньги или ничего»). ничего не звонит). Опцион колл обменивает наличные на актив по истечении срока действия, в то время как колл по принципу «актив или ничего» просто дает актив (без наличных в обмен), а колл «наличные или ничего» просто дает наличные (без актива в обмен). Формула Блэка-Шоулза представляет собой разницу двух слагаемых, и эти два слагаемых равны значениям бинарных опционов колл. Эти бинарные опционы торгуются реже, чем ванильные опционы колл, но их легче анализировать.

Таким образом, формула:

$C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]$

распадается как:

$C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,$

где $DN(d_{+})F$ представляет собой текущую стоимость опциона «актив или ничего» и $DN(d_{-})K$ — это текущая стоимость звонка по принципу «деньги или ничего». Фактор D предназначен для дисконтирования, поскольку дата истечения срока действия находится в будущем, и его удаление меняет текущую стоимость на будущую стоимость (стоимость на момент истечения срока действия). Таким образом $N(d_{+})~F$ — это будущая стоимость опциона «актив или ничего» и $N(d_{-})~K$ — это будущая стоимость звонка по принципу «деньги или ничего». В нейтральных к риску терминах это ожидаемая стоимость актива и ожидаемая стоимость денежных средств в нейтральном к риску показателе.

Наивная и немного неправильная интерпретация этих терминов состоит в том, что $N(d_{+})F$ вероятность того, что опцион истечет в деньгах $N(d_{+})$, умноженный на стоимость базового актива на момент истечения срока F, в то время как $N(d_{-})K$ вероятность того, что опцион истечет в деньгах $N(d_{-}),$ умноженную на стоимость денежных средств по истечении срока действия K. Эта интерпретация неверна, поскольку либо оба бинарных опциона истекают в деньгах, либо оба истекают из денег (либо наличные деньги обмениваются на актив, либо нет), но вероятности $N(d_{+})$ и $N(d_{-})$ не равны. Фактически, $d_{\pm }$ можно интерпретировать как меры денежности (в стандартных отклонениях) и $N(d_{\pm })$ как вероятности истечения ITM ( процент денежности ) в соответствующих цифрах , как описано ниже. Проще говоря, трактовка денежного варианта, $N(d_{-})K$, является правильным, поскольку стоимость денежных средств не зависит от движения базового актива и, таким образом, может быть интерпретирована как простой продукт «вероятности, умноженной на стоимость», в то время как $N(d_{+})F$ Сложнее, поскольку вероятность истечения срока действия денег и стоимость актива на момент истечения срока действия не являются независимыми. Точнее, стоимость актива на момент истечения срока его действия является переменной в денежном выражении, но постоянной в отношении самого актива (фиксированного количества актива), и, таким образом, эти количества независимы, если изменить числовое значение актива, а не его числовое значение. наличные.

Если использовать точку S вместо прямой F, в $d_{\pm }$ вместо ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ термин есть ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ который можно интерпретировать как фактор дрейфа (в риск-нейтральной мере для соответствующих цифр). Использование d _— для обозначения денежности, а не стандартизированной денежности. ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ – другими словами, причина ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ коэффициент – обусловлен разницей между медианой и средним значением логнормального распределения ; это тот же фактор, что и в лемме Ито, примененной к геометрическому броуновскому движению . Кроме того, еще один способ убедиться в неправильности наивной интерпретации состоит в том, чтобы заменить $N(d_{+})$ к $N(d_{-})$ в формуле дает отрицательное значение для опционов колл «вне денег».

Подробно условия $N(d_{+}),N(d_{-})$ – это вероятности истечения опциона «в деньгах» при эквивалентной экспоненциальной мере вероятности мартингала (numéraire = акция) и эквивалентной мере вероятности мартингала (numéraire = безрисковый актив) соответственно. Нейтральная к риску плотность вероятности для цены акции $S_{T}\in (0,\infty )$ является

$p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}$

где $d_{-}=d_{-}(K)$ определяется, как указано выше.

Конкретно, $N(d_{-})$ — это вероятность того, что колл будет исполнен при условии, что дрейф актива соответствует безрисковой ставке. $N(d_{+})$Однако не поддается простой вероятностной интерпретации. $SN(d_{+})$ правильно интерпретируется как приведенная стоимость ожидаемой цены актива на момент истечения срока действия с использованием безрисковой процентной ставки, при условии, что цена актива на момент истечения срока превышает цену исполнения. Соответствующее обсуждение – и графическое представление – см. в разделе «Метод Датара – Мэтьюза для реальной оценки опционов» .

Эквивалентную мартингальную вероятностную меру также называют вероятностной мерой, нейтральной к риску . Обратите внимание, что обе эти вероятности являются вероятностями в теоретическом смысле меры, и ни одна из них не является истинной вероятностью истечения срока в деньгах при реальной мере вероятности . Для расчета вероятности при реальной («физической») мере вероятности требуется дополнительная информация — член дрейфа в физической мере или, что то же самое, рыночная цена риска .

Производные

См. также: Цены на Мартингейл

Стандартный вывод для решения УЧП Блэка-Шоулза приведен в статье Уравнение Блэка-Шоулза .

Формула Фейнмана-Каца гласит, что решение этого типа УЧП, если его соответствующим образом дисконтировать, на самом деле является мартингейлом . Таким образом, цена опциона представляет собой ожидаемую стоимость дисконтированного выигрыша по опциону. Расчет цены опциона на основе этого ожидания представляет собой подход, нейтральный к риску, и его можно выполнить без знания PDE. Обратите внимание, что ожидание выигрыша по опциону рассчитывается не по реальной вероятностной мере , а по искусственной нейтральной к риску мере , которая отличается от реальной меры. Базовую логику см. в разделе «Оценка, нейтральная к риску» в разделе «Рациональное ценообразование » , а также в разделе «Ценообразование на деривативы: мир Q » в разделе «Математические финансы » ; подробнее еще раз см. Халл .

Варианты греков

« Греки » измеряют чувствительность стоимости производного продукта или финансового портфеля к изменениям значений параметров, сохраняя при этом остальные параметры фиксированными. Они являются частными производными цены по значениям параметров. Одно греческое слово «гамма» (как и другие, не перечисленные здесь) в данном случае является частичной производной от другого греческого слова «дельта».

Греки важны не только для математической теории финансов, но и для тех, кто активно занимается торговлей. Финансовые учреждения обычно устанавливают лимиты риска для каждого грека, которые их трейдеры не должны превышать.

Дельта – самая важная греческая ситуация, поскольку она обычно сопряжена с наибольшим риском. Многие трейдеры обнулят свою дельту в конце дня, если они не будут спекулировать на направлении рынка и не будут следовать дельта-нейтральному подходу хеджирования, как это определено Блэком-Шоулзом. портфеля Когда трейдер стремится установить эффективный дельта-хедж для портфеля, он также может попытаться нейтрализовать гамму , поскольку это гарантирует, что хеджирование будет эффективным в более широком диапазоне движений базовой цены.

Греки, обозначающие Блэка – Шоулза, приведены ниже в закрытой форме . Их можно получить дифференцированием формулы Блэка–Шоулза.

		Вызов	Помещать
Дельта	${\frac {\partial V}{\partial S}}$	$N(d_{+})\,$	$-N(-d_{+})=N(d_{+})-1\,$
Гамма	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$	${\frac {N'(d_{+})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\,$
Вега	${\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$	$SN'(d_{+}){\sqrt {T-t}}\,$
Тета	${\frac {\partial V}{\partial t}}$	$-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{-})\,$	$-{\frac {SN'(d_{+})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{-})\,$
Ро	${\frac {\partial V}{\partial r}}$	$K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{-})\,$	$-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{-})\,$

Обратите внимание, что из формул ясно, что гамма имеет одно и то же значение для колл-опционов и пут-опционов, а также то же самое значение веги для колл-опционов и пут-опционов. Это можно увидеть непосредственно из паритета пут-колл , поскольку разница между путом и коллом представляет собой форвард, который линеен по S и не зависит от σ (поэтому форвард имеет нулевую гамму и нулевую вегу). N' — стандартная нормальная функция плотности вероятности.

На практике некоторые значения чувствительности обычно указываются в уменьшенном масштабе, чтобы соответствовать масштабу вероятных изменений параметров. Например, ро часто сообщается разделенным на 10 000 (изменение курса на 1 базисный пункт), вега на 100 (изменение на 1 пункт объема), а тета на 365 или 252 (снижение на 1 день, основанное либо на календарных днях, либо на торговых днях в году).

Обратите внимание, что «Вега» не является буквой греческого алфавита; название возникло из-за неправильного прочтения греческой буквы ню (по-разному переводимой как $\nu$, ν и ν) как V.

Расширения модели

Вышеупомянутая модель может быть расширена для переменных (но детерминированных) ставок и волатильности. Модель также может быть использована для оценки европейских опционов на инструменты, приносящие дивиденды. В этом случае решения в закрытой форме доступны, если дивиденд представляет собой известную долю цены акций. Американские опционы и опционы на акции, выплачивающие известный денежный дивиденд (в краткосрочной перспективе более реалистичные, чем пропорциональные дивиденды), труднее оценить, и доступен выбор методов решения (например, решетки и сетки ).

выплачивающие постоянные дивиденды по

Для опционов на индексы разумно сделать упрощающее предположение, что дивиденды выплачиваются непрерывно и что сумма дивидендов пропорциональна уровню индекса.

Выплата дивидендов, выплаченная в течение периода времени $[t,t+dt]$ затем моделируется как:

$qS_{t}\,dt$

для некоторой константы $q$ ( дивидендная доходность ).

Согласно этой формулировке, безарбитражная цена, подразумеваемая моделью Блэка – Шоулза, может быть равна:

$C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,$

и

$P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,$

где сейчас

$F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,$

— это модифицированная форвардная цена, которая встречается в условиях $d_{1},d_{2}$:

$d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]$

и

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]$.

выплачивающие дискретные

Также возможно распространить концепцию Блэка-Шоулза на опционы на инструменты, выплачивающие дискретные пропорциональные дивиденды. Это полезно, когда опцион исполняется на одну акцию.

Типичная модель предполагает, что пропорция $\delta$ часть стоимости акций выплачивается в заранее определенное время $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$. Тогда цена акции моделируется как:

$S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}$

где $n(t)$ это количество дивидендов, выплаченных по времени $t$.

Цена опциона колл на такую ​​акцию снова составит:

$C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,$

где сейчас

$F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,$

– это форвардная цена акций, выплачивающих дивиденды.

Американские опционы

Проблема определения цены американского опциона связана с проблемой оптимальной остановки, заключающейся в поиске времени для исполнения опциона. Поскольку американский опцион может быть исполнен в любое время до даты истечения срока его действия, уравнение Блэка-Шоулза становится вариационным неравенством вида:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0$

вместе с $V(S,t)\geq H(S)$ где $H(S)$ обозначает выплату по цене акции $S$ и терминальное состояние: $V(S,T)=H(S)$.

В общем, это неравенство не имеет решения в замкнутой форме, хотя американский вызов без дивидендов равен европейскому вызову, а метод Ролла – Геске – Уэйли обеспечивает решение для американского вызова с одним дивидендом; см. также приближение Блэка .

Бароне-Адези и Уэйли — формула дальнейшего приближения. Здесь стохастическое дифференциальное уравнение (которое справедливо для стоимости любого производного инструмента) разделено на два компонента: стоимость европейского опциона и премия за досрочное исполнение. При некоторых предположениях затем получается квадратное уравнение , аппроксимирующее решение последнего. Это решение включает в себя нахождение критического значения , $s*$, так что человек безразличен между досрочным исполнением и удержанием до погашения.

Бьерксунд и Стенсланд предоставить приближение, основанное на стратегии исполнения, соответствующей триггерной цене. Здесь, если цена базового актива больше или равна триггерной цене, оптимальным является исполнение, и значение должно равняться $S-X$, в противном случае опцион «сводится к: (i) европейскому опциону колл … и (ii) скидке, которая получается в дату выбывания, если опцион выбивается до даты погашения». Формулу легко модифицировать для оценки опциона пут с использованием паритета пут-колл . Это приближение является недорогим в вычислительном отношении, и метод быстр, причем данные указывают на то, что приближение может быть более точным при оценке долгосрочных опционов, чем приближение Бароне-Адези и Уэйли.

Вечный пут

Несмотря на отсутствие общего аналитического решения для американских пут-опционов, можно вывести такую ​​формулу для случая бессрочного опциона, означающего, что срок действия опциона никогда не истекает (т. е. $T\rightarrow \infty$). В этом случае временное затухание опциона равно нулю, что приводит к тому, что УЧП Блэка–Шоулза становится ОДУ:

$${1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0$$

Позволять $S_{-}$ обозначаем нижнюю границу исполнения, ниже которой оптимально для исполнения опциона. Граничные условия:

$$V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K$$

Решения ОДУ представляют собой линейную комбинацию любых двух линейно независимых решений:

$$V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}$$

Для $S_{-}\leq S$, подстановка этого решения в ОДУ для $i={1,2}$ дает:

$$\left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0$$

Перестановка терминов дает:

$${1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0$$

Используя квадратичную формулу , решения для $\lambda _{i}$ являются:

$${\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}$$

Чтобы иметь конечное решение для вечного пут, поскольку граничные условия предполагают верхние и нижние конечные границы стоимости пут, необходимо установить $A_{1}=0$, что приводит к решению $V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}$. Из первого граничного условия известно, что:

$$V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}$$

Таким образом, стоимость бессрочного опциона пут составит:

$$V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}$$

Второе граничное условие определяет местоположение нижней границы упражнения:

$$V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}$$

В заключение, для ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$Стоимость бессрочного американского пут-опциона:

$$V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}$$

Бинарные опционы

Решая дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза с функцией Хевисайда в качестве граничного условия, можно получить оценку опционов, по которым выплачивается одна единица выше некоторой заранее определенной цены исполнения и ничего ниже.

Фактически, формулу Блэка-Шоулза для цены ванильного опциона колл (или опциона пут) можно интерпретировать путем разложения опциона колл на опцион колл по принципу «активы или ничего» минус опцион колл «деньги или ничего», и аналогичным образом для пут-бинарных опционов легче анализировать, и они соответствуют двум слагаемым в формуле Блэка-Шоулза.

Звонок по принципу «деньги или ничего»

При этом выплачивается одна единица денежных средств, если цена при погашении выше страйка. Его значение определяется:

$C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,$

Ставка «деньги или ничего»

При этом выплачивается одна единица денежных средств, если спот находится ниже страйка при погашении. Его значение определяется:

$P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,$

Звонок по принципу «актив или ничего»

Это выплачивает одну единицу актива, если спот находится выше страйка при погашении. Его значение определяется:

$C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,$

Ставка «актив или ничего»

Это выплачивает одну единицу актива, если спот находится ниже страйка при погашении. Его значение определяется:

$P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),$

Иностранная валюта (FX)

Дополнительная информация: Валютный дериватив.

Обозначая S обменный курс FOR/DOM (т.е. 1 единица иностранной валюты стоит S единиц национальной валюты), можно заметить, что выплата 1 единицы национальной валюты, если цена спот при погашении выше или ниже страйка, равна точно типа кэш-или ничего зови и ставь соответственно. Аналогичным образом, выплата 1 единицы иностранной валюты, если срок погашения находится выше или ниже страйка, в точности аналогичен активу «колл» или «пут» соответственно.Следовательно, взяв $r_{f}$, иностранная процентная ставка, $r_{d}$, внутреннюю процентную ставку и остальное, как указано выше, можно получить следующие результаты:

В случае цифрового звонка (это вызов FOR/put DOM) с выплатой одной единицы национальной валюты, полученной как текущая стоимость:

$C=e^{-r_{d}T}N(d_{2})\,$

В случае цифрового пут (это пут FOR/колл DOM) с выплатой одной единицы национальной валюты, полученной как текущая стоимость:

$P=e^{-r_{d}T}N(-d_{2})\,$

В случае цифрового звонка (это вызов FOR/put DOM) с выплатой одной единицы иностранной валюты, полученной как текущая стоимость:

$C=Se^{-r_{f}T}N(d_{1})\,$

В случае цифрового пут (это пут FOR/колл DOM) с выплатой одной единицы иностранной валюты, полученной как текущая стоимость:

$P=Se^{-r_{f}T}N(-d_{1})\,$

Перекос

В стандартной модели Блэка-Шоулза можно интерпретировать премию бинарного опциона в нейтральном к риску мире как ожидаемую стоимость = вероятность оказаться в деньгах * единицу, дисконтированную до текущей стоимости. Модель Блэка-Шоулза опирается на симметрию распределения и игнорирует асимметрию распределения активов. Маркет-мейкеры корректируют такую ​​асимметрию, вместо использования одного стандартного отклонения для базового актива. $\sigma$ по всем страйкам, включая переменный $\sigma (K)$ где волатильность зависит от цены исполнения, что позволяет перекос волатильности учитывать . Перекос имеет значение, поскольку он влияет на двоичные опционы значительно сильнее, чем на обычные опционы.

Бинарный опцион колл при длительном сроке действия аналогичен узкому спреду колл с использованием двух ванильных опционов. Можно смоделировать стоимость бинарного опциона «деньги или ничего» C при страйке K как бесконечно узкий спред, где $C_{v}$ это ванильный европейский вызов:

$C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}$

Таким образом, стоимость бинарного колла является отрицательной производной цены ванильного колла по отношению к страйк-цене:

$C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}$

Если принять во внимание перекос волатильности, $\sigma$ является функцией $K$:

$C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$

Первый член равен премии бинарного опциона без учета перекоса:

$-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}$

${\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}$ это Вега из ванильного звонка; ${\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ иногда называют «косым наклоном» или просто «косым». Если асимметрия обычно отрицательна, значение двоичного вызова будет выше с учетом асимметрии.

$C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}$

с греками

Поскольку бинарный колл является математической производной ванильного колл по страйку, цена бинарного колл имеет ту же форму, что и дельта ванильного колл, а дельта бинарного колл имеет ту же форму, что и гамма ванильный звонок.

Блэк-

Допущение нормальности модели Блэка-Шоулза не учитывает экстремальные движения, такие как крахи фондового рынка .

Не все предположения модели Блэка-Шоулза эмпирически обоснованы. Модель широко используется как полезное приближение к реальности, но правильное применение требует понимания ее ограничений: слепое следование модели подвергает пользователя неожиданному риску. Среди наиболее существенных ограничений можно выделить:

• недооценка экстремальных движений, приводящая к хвостовому риску , который можно застраховать с помощью «вне денег» ; опционов
• предположение о мгновенной, бесплатной торговле, приводящей к риску ликвидности , который трудно хеджировать;
• предположение о стационарном процессе, приводящем к риску волатильности , который можно застраховать с помощью хеджирования волатильности;
• предположение о непрерывном времени и непрерывной торговле, что приводит к риску разрыва, который можно застраховать с помощью гамма-хеджирования;
• модель имеет тенденцию недооценивать опционы «глубоко вне денег» и переоценивать опционы «глубоко в деньгах».

Короче говоря, хотя в модели Блэка-Шоулза можно прекрасно хеджировать опционы, просто используя дельта-хеджирование , на практике существует множество других источников риска.

Результаты использования модели Блэка – Шоулза отличаются от реальных мировых цен из-за упрощения допущений модели. Одним из существенных ограничений является то, что в действительности цены на ценные бумаги не следуют строгому стационарному логарифмически нормальному процессу, а безрисковый процент фактически неизвестен (и не является постоянным во времени). Было замечено, что дисперсия непостоянная, что приводит к использованию таких моделей, как GARCH, для моделирования изменений волатильности. Расхождения в ценах между эмпирической моделью и моделью Блэка-Шоулза уже давно наблюдаются у опционов, которые находятся далеко за пределами денег , что соответствует резким изменениям цен; такие события были бы очень редки, если бы доходность распределялась логнормально, но на практике они наблюдаются гораздо чаще.

Тем не менее, ценообразование Блэка-Шоулза широко используется на практике. потому что это:

• легко рассчитать
• полезное приближение, особенно при анализе направления движения цен при пересечении критических точек.
• прочная основа для более совершенных моделей
• обратимый, поскольку исходный результат модели, цена, может использоваться в качестве входных данных, а для нее может быть рассчитана одна из других переменных; рассчитанная таким образом подразумеваемая волатильность часто используется для котирования цен опционов (то есть в качестве соглашения о котировании ).

Первый пункт, очевидно, полезен. Остальные можно обсудить дополнительно:

Полезное приближение: хотя волатильность не является постоянной, результаты модели часто помогают установить хеджирование в правильных пропорциях для минимизации риска. Даже если результаты не совсем точны, они служат первым приближением, в которое можно внести коррективы.

Основа для более совершенных моделей: Модель Блэка-Шоулза надежна в том смысле, что ее можно скорректировать для устранения некоторых ее недостатков. Вместо того, чтобы считать некоторые параметры (такие как волатильность или процентные ставки) постоянными , их рассматривают как переменные и, таким образом, как дополнительные источники риска. Это отражено в греках (изменение стоимости опциона при изменении этих параметров или, что то же самое, в частных производных по этим переменным), и хеджирование этих греков снижает риск, вызванный непостоянным характером этих параметров. Однако другие дефекты, в частности хвостовой риск и риск ликвидности, не могут быть устранены путем изменения модели, и вместо этого ими управляют вне модели, главным образом путем минимизации этих рисков и стресс-тестирования .

Явное моделирование: эта функция означает, что вместо того, чтобы предполагать волатильность априорно и вычислять на ее основе цены, можно использовать модель для расчета волатильности, что дает подразумеваемую волатильность опциона при заданных ценах, продолжительности и цене исполнения. Решая волатильность на заданном наборе дюраций и цен исполнения, можно построить поверхность подразумеваемой волатильности . В этом применении модели Блэка – Шоулза преобразование координат из области цен в область волатильности получается . Вместо того, чтобы указывать цены опционов в долларах за единицу (которые трудно сравнивать по страйкам, продолжительности и частоте купонов), цены опционов могут, таким образом, указываться с точки зрения подразумеваемой волатильности, что приводит к торговле волатильностью на опционных рынках.

Улыбка

Основная статья: Улыбка волатильности

Одной из привлекательных особенностей модели Блэка-Шоулза является то, что параметры модели, помимо волатильности (время до погашения, страйк, безрисковая процентная ставка и текущая базовая цена), однозначно наблюдаемы. При прочих равных условиях теоретическая стоимость опциона представляет собой монотонно возрастающую функцию подразумеваемой волатильности.

Модель Блэка-Шоулза можно протестировать путем расчета подразумеваемой волатильности для торгуемых опционов с различными сроками исполнения и сроками погашения. Если бы модель Блэка-Шоулза работала, то подразумеваемая волатильность для конкретной акции была бы одинаковой для всех страйков и сроков погашения. На практике поверхность волатильности (трехмерный график подразумеваемой волатильности в зависимости от страйка и срока погашения) не является плоской.

Типичная форма кривой подразумеваемой волатильности для данного срока погашения зависит от базового инструмента. Акции, как правило, имеют искаженные кривые: по сравнению с «при деньгах » подразумеваемая волатильность значительно выше для низких страйков и немного ниже для высоких страйков. Валюты, как правило, имеют более симметричные кривые, с самой низкой подразумеваемой волатильностью при деньгах и более высокой волатильностью в обоих направлениях. Сырьевые товары часто ведут себя наоборот, чем акции, с более высокой подразумеваемой волатильностью для более высоких страйков.

Несмотря на существование улыбки волатильности (и нарушение всех остальных предположений модели Блэка-Шоулза), PDE Блэка-Шоулза и формула Блэка-Шоулза до сих пор широко используются на практике. Типичный подход состоит в том, чтобы рассматривать поверхность волатильности как факт о рынке и использовать подразумеваемую волатильность, основанную на ней, в модели оценки Блэка-Шоулза. Это было описано как использование «неправильного числа в неправильной формуле для получения правильной цены». Этот подход также дает полезные значения для коэффициентов хеджирования (греки). Даже когда используются более продвинутые модели, трейдеры предпочитают мыслить в терминах подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза, поскольку она позволяет им оценивать и сравнивать опционы с разными сроками погашения, страйками и т. д. Обсуждение различных альтернативных подходов, разработанных здесь, см. в разделе «Финансовая экономика § Проблемы и критика» .

опционов

Метод Блэка-Шоулза не может быть применен непосредственно к облигационным ценным бумагам из-за притяжения к номиналу . Когда облигация достигает даты погашения, все цены, связанные с облигацией, становятся известны, тем самым уменьшая ее волатильность, а простая модель Блэка-Шоулза не отражает этот процесс. большое количество расширений модели Блэка-Шоулза, начиная с модели Блэка . Для решения этого явления использовалось См. Опцион облигации § Оценка .

Кривая процентных ставок

На практике процентные ставки не являются постоянными — они различаются в зависимости от срока (частоты купонов), образуя кривую процентных ставок , которую можно интерполировать, чтобы выбрать подходящую ставку для использования в формуле Блэка-Шоулза. Еще одним соображением является то, что процентные ставки меняются со временем. Эта волатильность может внести существенный вклад в цену, особенно долгосрочных опционов. Это похоже на соотношение процентной ставки и цены облигаций, которое находится в обратной зависимости.

Короткая ставка по акциям

Открытие короткой позиции по акциям , как это предусмотрено деривацией, обычно не является бесплатным; аналогичным образом можно предоставить в долг длинную позицию по акциям за небольшую комиссию . В любом случае это можно рассматривать как непрерывный дивиденд для целей оценки Блэка-Шоулза, при условии, что нет явной асимметрии между стоимостью заимствования коротких акций и доходом от кредитования длинных акций.

Критика и комментарии

Эспен Гардер Хауг и Нассим Николас Талеб утверждают, что модель Блэка-Шоулза просто перерабатывает существующие широко используемые модели с точки зрения практически невозможного «динамического хеджирования», а не «риска», чтобы сделать их более совместимыми с основной неоклассической экономической теорией. Они также утверждают, что Бонесс в 1964 году уже опубликовал формулу, которая «фактически идентична» уравнению ценообразования колл-опционов Блэка – Шоулза. Эдвард Торп также утверждает, что догадался о формуле Блэка-Шоулза в 1967 году, но держал ее при себе, чтобы заработать деньги для своих инвесторов. Эмануэль Дерман и Талеб также раскритиковали динамическое хеджирование и заявили, что ряд исследователей предлагали аналогичные модели до Блэка и Скоулза. В ответ Пол Уилмотт выступил в защиту модели.

В своем письме акционерам Berkshire Hathaway в 2008 году Уоррен Баффет написал: «Я считаю, что формула Блэка-Шоулза, хотя она и является стандартом для установления долларовых обязательств по опционам, дает странные результаты, когда оцениваются долгосрочные опционы. ... Формула Блэка-Шоулза приблизилась к статусу священного писания в финансах ... Однако, если формулу применить к длительным периодам времени, она может дать абсурдные результаты. Честно говоря, Блэк и Скоулз почти наверняка хорошо поняли этот момент. Но их преданные последователи, возможно, игнорируют все предостережения, которые эти двое сделали, когда впервые представили формулу».

Британский математик Ян Стюарт , автор книги 2012 года под названием « В поисках неизведанного: 17 уравнений, которые изменили мир» , сказал, что Блэк-Шоулз «поддержал огромный экономический рост», и что «международная финансовая система торговала деривативами на сумму один квадриллион долларов в год» к 2007 году. Он сказал, что уравнение Блэка-Шоулза было «математическим обоснованием торговли» - и, следовательно, — «один из ингредиентов богатой смеси финансовой безответственности, политической некомпетентности, порочных стимулов и слабого регулирования», которая способствовала финансовому кризису 2007–2008 годов . Он пояснил, что «настоящей проблемой было не само уравнение», а злоупотребление им в финансовой индустрии.

Модель Блэка-Шоулза предполагает положительные базовые цены; если базовый актив имеет отрицательную цену , модель не работает напрямую. Имея дело с опционами, базовая стоимость которых может стать отрицательной, практикующие специалисты могут использовать другую модель, например модель Башелье. или просто добавьте постоянное смещение к ценам.

См. также

• Биномиальная модель опционов — дискретный численный метод расчета цен опционов.
• Модель Блэка , вариант модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза.
• Black Shoals , произведение финансового искусства
• Броуновская модель финансовых рынков
• Метод Датара – Мэтьюза для реальной оценки опционов
• Финансовая математика (содержит список связанных статей)
• Метод нечеткой выплаты для реальной оценки опциона
• Уравнение теплопроводности , к которому можно преобразовать УЧП Блэка – Шоулза.
• Прыжковая диффузия
• Модель опционов Монте-Карло , использующая моделирование при оценке опционов со сложными характеристиками.
• Анализ реальных опционов
• Стохастическая волатильность

Ссылки

Основные ссылки

• Блэк, Фишер; Скоулз, Майрон (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637–654. дои : 10.1086/260062 . S2CID   154552078 . [1] (Оригинальная статья Блэка и Скоулза.)
• Мертон, Роберт К. (1973). «Теория рационального ценообразования опционов». Bell Journal of Economics and Management Science . 4 (1). Корпорация РЭНД: 141–183. дои : 10.2307/3003143 . hdl : 10338.dmlcz/135817 . JSTOR   3003143 . [2]
• Халл, Джон К. (1997). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты . Прентис Холл. ISBN  0-13-601589-1 .

Исторические и социологические аспекты

• Бернштейн, Питер (1992). Идеи капитала: невероятные истоки современной Уолл-стрит . Свободная пресса. ISBN  0-02-903012-9 .
• Дерман, Эмануэль. «Моя жизнь как квант» John Wiley & Sons, Inc., 2004. ISBN   0-471-39420-3
• Маккензи, Дональд (2003). «Уравнение и его миры: бриколаж, образцы, разобщенность и перформативность в финансовой экономике» (PDF) . Социальные исследования науки . 33 (6): 831–868. дои : 10.1177/0306312703336002 . hdl : 20.500.11820/835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8 . S2CID   15524084 . [3]
• Маккензи, Дональд; Юваль Милло (2003). «Построение рынка, исполнительская теория: историческая социология биржи деривативов финансовых инструментов». Американский журнал социологии . 109 (1): 107–145. CiteSeerX   10.1.1.461.4099 . дои : 10.1086/374404 . S2CID   145805302 . [4]
• Маккензи, Дональд (2006). Двигатель, а не камера: как финансовые модели формируют рынки . МТИ Пресс. ISBN  0-262-13460-8 .
• Мандельброт и Хадсон, Базовые книги «(Неправильное) поведение рынков», 2006 г. ISBN   978-0-465-04355-2
• Шпиро, Джордж Г. , Оценка будущего: финансы, физика и 300-летний путь к уравнению Блэка-Шоулза; История гения и открытий (Нью-Йорк: Basic, 2011) 298 стр.
• Талеб, Нассим. «Динамическое хеджирование» John Wiley & Sons, Inc., 1997. ISBN   0-471-15280-3
• Торп, Эд. «Человек для всех рынков», Random House, 2017. ISBN   978-1-4000-6796-1

Дальнейшее чтение

• Хауг, EG (2007). «Ценообразование опционов и хеджирование от теории к практике». Производные: модели на моделях . Уайли. ISBN  978-0-470-01322-9 . В книге приводится ряд исторических ссылок, подтверждающих теорию о том, что трейдеры опционов используют гораздо более надежные принципы хеджирования и ценообразования, чем модель Блэка, Шоулза и Мертона.
• Триана, Пабло (2009). Лекции птицам о полете: могут ли математические теории уничтожить финансовые рынки? . Уайли. ISBN  978-0-470-40675-5 . В книге критически рассматривается модель Блэка, Скоулза и Мертона.

Внешние ссылки

Обсуждение модели

• Аджай Шах. Блэк, Мертон и Скоулз: их работа и ее последствия. Экономический и политический еженедельник, XXXII(52):3337–3342, декабрь 1997 г.
• Математическое уравнение, которое привело к краху банков , Ян Стюарт , The Observer , 12 февраля 2012 г.
• Когда вы не можете постоянно хеджировать: поправки к Блэку-Шоулзу , Эмануэль Дерман

Вывод и решение

• Решение уравнения Блэка–Шоулза с использованием функции Грина , профессор Деннис Сильверман
• «Уравнение Блэка – Шоулза» Пояснительная статья математика Теренса Тао .

Компьютерные реализации

• Блэк – Шоулз на нескольких языках
• Блэк – Шоулз на Java – переход по ссылке ниже –
• Блэк-Шоулз на Яве
• Модель ценообразования опционов Чикаго (графическая версия)
• Модель поверхности подразумеваемой волатильности Блэка – Шоулза – Мертона (Java)
• Онлайн-калькулятор Блэка – Шоулза

Исторический

• Ставка на триллион долларов — дополнительный веб-сайт к эпизоду сериала «Нова», который впервые транслировался 8 февраля 2000 года. «В фильме рассказывается захватывающая история изобретения формулы Блэка-Шоулза, математического Святого Грааля, который навсегда изменил мир финансов и заслужил создатели Нобелевской премии по экономике 1997 года».
• BBC Horizon Телепрограмма о так называемой формуле Мидаса и банкротстве Long-Term Capital Management (LTCM)
• Журнал BBC News Блэк – Шоулз: математическая формула связана с финансовым крахом (статья от 27 апреля 2012 г.)