Своп отклонений

Своп на отклонения — это внебиржевой финансовый производный инструмент , который позволяет спекулировать или хеджировать риски, связанные с величиной движения, то есть волатильностью , некоторого базового продукта, такого как обменный курс , процентная ставка или фондовый индекс .

Одна часть свопа будет выплачивать сумму, основанную на реализованной дисперсии изменений цены базового продукта. Обычно эти изменения цен будут представлять собой ежедневную прибыль , основанную на наиболее часто используемой цене закрытия. Другая часть свопа будет выплачивать фиксированную сумму, которая представляет собой страйк , указанный при заключении сделки. Таким образом, чистая выплата контрагентам будет представлять собой разницу между этими двумя суммами и будет рассчитываться денежными средствами по истечении срока сделки, хотя некоторые денежные выплаты, вероятно, будут производиться по ходу дела одним или другим контрагентом для поддержания согласованной маржи .

Структура и особенности

К особенностям дисперсионного свопа относятся:

• дисперсионный страйк
• реализованная дисперсия
• : условная вега как и в других свопах , выигрыш определяется на основе условной суммы , которая никогда не обменивается. Однако в случае свопа отклонений условная сумма указывается в вегах , чтобы преобразовать выигрыш в долларовое выражение.

Выплата от дисперсионного свопа определяется следующим образом:

$N_{\operatorname {var} }(\sigma _{\text{realised}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})$

где:

• $N_{\operatorname {var} }$ = условная дисперсия (она же единицы дисперсии),
• $\sigma _{\text{realised}}^{2}$ = годовая реализованная дисперсия, и
• $\sigma _{\text{strike}}^{2}$ = страйк отклонения.

Годовая реализованная дисперсия рассчитывается на основе заранее определенного набора точек отбора проб за период. Оно не всегда совпадает с классическим статистическим определением дисперсии, поскольку условия контракта не могут вычитать среднее значение. Например, предположим, что существуют $n+1$ наблюдаемые цены $S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}$где $0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T$для $i=1$ к $n$. Определять $R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),$ естественный журнал возвращается.Затем

• $\sigma _{\text{realised}}^{2}={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}$

где $A$ — это коэффициент приведения к годовому исчислению, который обычно выбирается примерно равным числу точек отбора проб в году (обычно 252) и $T$ устанавливается как срок действия контракта свопа, определяемый числом $n/A$. Видно, что вычитание средней доходности уменьшит реализованную дисперсию. Если это сделано, обычно используется $n-1$ как делитель, а не $n$, что соответствует несмещенной оценке выборочной дисперсии.

Рыночная практика определяет количество договорных единиц следующим образом:

$N_{\operatorname {var} }={\frac {N_{\text{vol}}}{2\sigma _{\text{strike}}}}$

где $N_{\text{vol}}$ — соответствующее понятие веги для волатильного свопа . Это делает выигрыш от дисперсионного свопа сравнимым с выигрышем от свопа на волатильность , еще одного менее популярного инструмента, используемого для торговли волатильностью.

Ценообразование и оценка

Своп отклонений может быть хеджирован и, следовательно, оценен с использованием портфеля европейских опционов колл и пут с весами, обратно пропорциональными квадрату страйка.

любую модель «улыбки волатильности» , которая оценивает ванильные опционы Таким образом, для оценки дисперсионного свопа можно использовать . Например, используя модель Хестона , можно получить решение в закрытой форме для ставки свопа справедливой дисперсии. Необходимо внимательно относиться к поведению модели улыбки за кулисами, так как это может оказать непропорциональное влияние на цену.

Мы можем получить выигрыш от свопа дисперсии, используя лемму Ито . Сначала мы предполагаем, что базовая акция описывается следующим образом:

${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ =\mu \,dt+\sigma \,dZ_{t}$

Применяя формулу Ито, получаем:

$d(\log S_{t})=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \right)\,dt+\sigma \,dZ_{t}$

${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ -d(\log S_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ dt$

Если взять интегралы, то общая дисперсия составит:

${\text{Variance}}={\frac {1}{T}}\ \int \limits _{0}^{T}\sigma ^{2}\,dt\ ={\frac {2}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{T}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}\ \ -\ln \left({\frac {S_{T}}{S_{0}}}\ \right)\right)$

Мы видим, что общая дисперсия представляет собой ребалансированное хеджирование ${\frac {1}{S_{t}}}\$ и закоротить контракт на журнал.
Используя статический аргумент репликации , т. е. любой дважды непрерывно дифференцируемый контракт может быть воспроизведен с использованием облигации, фьючерса и бесконечного числа опционов «пут» и «колл». Мы можем показать, что позиция по короткому лог-контракту равна короткой позиции по фьючерсному контракту и набору опционов «пут» и «колл»:

$-\ln \left({\frac {S_{T}}{S^{*}}}\ \right)=-{\frac {S_{T}-S^{*}}{S^{*}}}\ +\int \limits _{K\leq S^{*}}(K-S_{T})^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\ +\int \limits _{K\geq S^{*}}(S_{T}-K)^{+}{\frac {dK}{K^{2}}}\$

Взяв ожидания и установив значение свопа отклонений равным нулю, мы можем изменить формулу для расчета справедливого свопа дисперсии:

$K_{\text{var}}={\frac {2}{T}}\ \left(rT-\left({\frac {S_{0}}{S^{*}}}\ e^{rT}-1\right)-\ln \left({\frac {S^{*}}{S_{0}}}\ \right)+e^{rT}\int \limits _{0}^{S^{*}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+e^{rT}\int \limits _{S^{*}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}C(K)\,dK\right)$

где:

$S_{0}$ — начальная цена базовой ценной бумаги,

$S^{*}>0$ является произвольным отсечением,

$K$ — это страйк каждого варианта в коллекции используемых вариантов.

Часто отсечка $S^{*}$выбирается в качестве текущей форвардной цены $S^{*}=F_{0}=S_{0}e^{rT}$, и в этом случае страйк свопа справедливой дисперсии можно записать в более простой форме:

$K_{var}={\frac {2e^{rT}}{T}}\ \left(\int \limits _{0}^{F_{0}}{\frac {1}{K^{2}}}\ P(K)\,dK+\int \limits _{F_{0}}^{\infty }{\frac {1}{K^{2}}}\ C(K)\,dK\right)$

Аналитическое ценообразование свопов отклонений с дискретной выборкой

Можно найти дискретную выборку реализованной дисперсии, например: $\sigma _{\text{realized}}^{2}$ как определено ранее, более практично при оценке дисперсии, поскольку в действительности мы можем наблюдать базовую цену только дискретно во времени. Это тем более убедительно, поскольку существует утверждение, что $\sigma _{\text{realized}}^{2}$ сходится по вероятности к фактической по мере увеличения количества наблюдений за ценой.

Предположим, что в нейтральном к риску мире с мартингальной мерой $\mathbb {Q}$, цена базового актива $S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}$ решает следующую СДУ:

${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0$

где:

• $T$ устанавливает дату истечения срока действия своп-контракта,
• $r(t)\in \mathbb {R}$ (зависящая от времени) безрисковая процентная ставка,
• $\sigma (t)>0$ (зависит от времени) волатильность цен, и
• $W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ является броуновским движением в фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )$ где $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}$ это естественная фильтрация $W$.

Учитывая, как определено выше $(\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2})\times N_{\text{var}}$ выплата по истечении срока действия свопов на дисперсию, затем ее ожидаемая стоимость в данный момент $t_{0}$, обозначенный $V_{t_{0}}$ является

$V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}-\sigma _{\text{strike}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{var}}.$

Чтобы избежать возможности арбитража, заключение своп-контракта не должно взимать никаких затрат, а это означает, что $V_{t_{0}}$ равен нулю. Таким образом, ценность справедливого отклонения просто выражается формулой

$\sigma _{\text{strike}}^{2}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realized}}^{2}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],$

который еще предстоит вычислить либо путем нахождения его формулы в замкнутой форме, либо с использованием численных методов, таких как методы Монте-Карло.

Использование

Многие трейдеры находят дисперсионные свопы интересными или полезными из-за их чистоты. Альтернативный способ спекуляции на волатильности — это опцион , но если вас интересует только риск волатильности, эта стратегия потребует постоянного дельта-хеджирования , так что риск направления базовой ценной бумаги будет примерно устранен. Более того, для репликации портфеля дисперсионного свопа потребуется целая полоса опционов, реализация которых будет очень дорогостоящей. Наконец, часто можно обнаружить необходимость регулярно переворачивать всю эту полосу опционов, чтобы она оставалась сосредоточенной на текущей цене базового актива. безопасность .

Преимущество дисперсионных свопов заключается в том, что они обеспечивают чистую подверженность волатильности базовой цены, в отличие от опционов колл и пут, которые могут нести направленный риск (дельта). Прибыль и убытки от дисперсионного свопа напрямую зависят от разницы между реализованной и подразумеваемой волатильностью .

Еще один аспект, который может показаться интересным некоторым спекулянтам, заключается в том, что котируемый страйк определяется предполагаемой волатильностью на рынке опционов, тогда как окончательная выплата будет основана на фактической реализованной дисперсии. Исторически сложилось так, что подразумеваемая дисперсия превышала реализованную дисперсию. явление, известное как премия за риск отклонения , создающее возможность для волатильного арбитража , в данном случае известного как скользящая короткая сделка с отклонением. По той же причине эти свопы можно использовать для хеджирования опционов от реализованной дисперсии .

Связанные инструменты

Тесно связанные стратегии включают стрэддл , своп волатильности , корреляционный своп , гамма-своп , своп условной дисперсии , своп коридорной дисперсии , своп форвардной дисперсии , опцион на реализованную дисперсию и корреляционную торговлю .