Опцион на реализованную дисперсию

В финансах опцион на реализованную дисперсию (или опцион на дисперсию ) — это тип дисперсионных деривативов, который представляет собой производные ценные бумаги, выплата по которым зависит от годового реализованного отклонения доходности определенного базового актива, такого как фондовый индекс, облигация, обменный курс и т. д. Еще одной ликвидной ценной бумагой того же типа является дисперсионный своп , который, другими словами, представляет собой фьючерсный контракт на реализованную дисперсию.

По аналогии с ванильными опционами, опционы на отклонения дают владельцу право, но без обязательств, купить или продать реализованное отклонение в обмен на некоторую согласованную цену (страйк отклонения) когда-нибудь в будущем (срок действия), за исключением того, что подверженность риску зависит исключительно от изменения самой цены. Это свойство вызывает интерес среди трейдеров, поскольку они могут использовать его в качестве инструмента для спекуляции будущим движением волатильности актива, например, для дельта-хеджирования портфеля, не принимая на себя направленный риск владения базовым активом.

Определения

На практике годовая реализованная дисперсия определяется суммой квадратов логарифмической доходности дискретной выборки указанного базового актива. Другими словами, если существуют $n+1$ точки выборки базовых цен, говорит $S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}$ наблюдалось во время $t_{i}$ где $0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T$ для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$ , то реализованная дисперсия, обозначаемая $RV_{d}$ оценивается в форме

RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}

где

$A$ – это годовой коэффициент, который обычно выбирается в качестве $A=252$ если цена отслеживается ежедневно, или $A=52$ или $A=12$ в случае еженедельного или ежемесячного наблюдения соответственно и
$T$ — дата истечения опциона, равная числу $n/{A}.$

Если положить

$K_{\text{var}}^{C}$ быть забастовкой отклонения и
$L$ быть условной суммой, конвертирующей выплаты в единицу денежной суммы, скажем, например, в долларах США или фунтах стерлингов,

затем выплаты по истечении срока опционов колл и пут, записанные на $RV_{d}$ (или просто дисперсионный колл и пут)

(RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\times L

и

(K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\times L

соответственно.

Обратите внимание, что годовая реализованная дисперсия также может быть определена посредством непрерывной выборки, что приводит к квадратичному изменению базовой цены. То есть, если мы предположим, что $\sigma (t)$ определяет мгновенную волатильность ценового процесса, то

RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds

определяет годовую реализованную дисперсию с непрерывной выборкой, которая также оказывается пределом вероятности дискретной формы ^[1] т.е.

\lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}

.

Однако этот подход применяется только для аппроксимации дискретного подхода, поскольку контракты, включающие реализованную дисперсию, практически котируются с точки зрения дискретной выборки.

Ценообразование и оценка

Предположим, что при использовании нейтральной к риску меры $\mathbb {Q}$ цена базового актива $S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}$ решает изменяющуюся во времени модель Блэка – Шоулза следующим образом:

{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0

где:

$r(t)\in \mathbb {R}$ (изменяющаяся во времени) безрисковая процентная ставка,
$\sigma (t)>0$ (изменяющаяся во времени) волатильность цен, и
$W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ является броуновским движением в фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )$ где $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}$ это естественная фильтрация $W$ .

ฺПри этой настройке, в случае вызова отклонения, его справедливая цена на данный момент $t_{0}$ обозначается $C_{t_{0}}^{\text{var}}$ может быть достигнуто с помощью ожидаемой приведенной стоимости его функции выигрыша, т.е.

C_{t_{0}}^{\operatorname {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{(\cdot )}-K_{\operatorname {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],

где $RV_{(\cdot )}=RV_{d}$ для дискретной выборки, в то время как $RV_{(\cdot )}=RV_{c}$ для непрерывного отбора проб. И по паритету пут-колл мы также получаем стоимость пут-опциона один раз. $C_{t_{0}}^{\text{var}}$ известно. К решению можно подойти аналитически, используя методологию, аналогичную методу вывода Блэка – Шоулза , если плотности вероятности функция $RV_{(\cdot )}$ воспринимается, или с помощью некоторых схем аппроксимации, например, метода Монте-Карло .