Азиатский вариант

( Азиатский опцион или опцион средней стоимости ) — это особый тип опционного контракта . Для азиатских опционов выигрыш определяется средней ценой базового актива за определенный заранее установленный период времени. Это отличается от случая обычного европейского опциона и американского опциона , где выплата по опционному контракту зависит от цены базового инструмента при исполнении; Таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов .

Существует два типа азиатских опционов: опцион средней цены (фиксированный страйк), где цена исполнения заранее определена, а усредненная цена базового актива используется для расчета выплаты; и вариант среднего страйка (плавающий страйк), при котором усредненная цена базового актива за период действия становится ценой исполнения.

Одним из преимуществ азиатских опционов является то, что они снижают риск рыночных манипуляций базовым инструментом при наступлении срока погашения. Еще одним преимуществом азиатских опционов является их относительная стоимость по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря функции усреднения азиатские опционы снижают волатильность , присущую опциону; поэтому азиатские опционы обычно дешевле европейских или американских опционов. Это может быть преимуществом для корпораций, на которые распространяется пересмотренное Положение № 123 Совета по стандартам финансового учета , которое требует, чтобы корпорации учитывали опционы на акции для сотрудников.

Этимология

В 1980-х годах Марк Стэндиш работал в лондонском Bankers Trust, занимаясь деривативами с фиксированным доходом и собственной арбитражной торговлей. Дэвид Спотон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на операции с иностранной валютой на лондонском рынке. В 1987 году Стэндиш и Спотон были в Токио по делам, когда «разработали первую коммерчески используемую формулу ценообразования для опционов, привязанных к средней цене сырой нефти». Они назвали этот экзотический вариант азиатским, потому что находились в Азии.

Варианты азиатского варианта

Существует множество вариантов азиатского варианта; самые основные перечислены ниже:

• с фиксированным страйком (или средней ставкой) по азиатским коллам Выплата

$C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),$

где A обозначает среднюю цену за период [0, T], а K — цену исполнения.
Эквивалентный опцион пут определяется выражением

$P(T)={\text{max}}\left(K-A(0,T),0\right).$

• Плавающий страйк (или плавающая ставка) Выплата по азиатскому опциону колл

$C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),$

где S(T) — цена при погашении, а k — весовой коэффициент, обычно равный 1, поэтому его часто опускают в описаниях.
Эквивалентный выигрыш по опциону пут определяется выражением

$P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).$

Виды усреднения

Средний $A$ можно получить разными способами. Условно это означает среднее арифметическое . В непрерывном случае это получается следующим образом:

$A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.$

Для случая дискретного мониторинга (с контролем в моменты времени $0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T$ и $t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}$) у нас есть среднее значение, данное выражением

$A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).$

Также существуют азиатские опционы со средним геометрическим ; в непрерывном случае это определяется выражением

$A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).$

Цены на азиатские опционы

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с помощью методов Монте-Карло представлено в статье Кемны и Ворста.

В рамках интегрального подхода к ценообразованию опционов задача о среднем геометрическом может быть решена с помощью эффективного классического потенциала Фейнмана ​ и Кляйнерта .

Роджерс и Ши решают проблему ценообразования с помощью подхода PDE.

Модель дисперсионной гаммы может быть эффективно реализована при ценообразовании опционов в азиатском стиле. Затем использование представления ряда Бондессона для создания гамма-процесса дисперсии может повысить вычислительную производительность азиатского оценщика опционов.

В рамках моделей скачкообразной диффузии и стохастической волатильности проблема ценообразования для геометрических азиатских опционов все еще может быть решена. Для арифметического азиатского варианта в моделях Леви можно полагаться на численные методы. или на аналитических границах.

Европейские азиатские опционы колл и пут с геометрическим усреднением

Мы можем получить решение в замкнутой форме для геометрического азиатского варианта; При использовании в сочетании с контрольными переменными в моделировании Монте-Карло эта формула полезна для определения справедливой стоимости для арифметического азиатского опциона.

Определите среднее геометрическое непрерывного времени $G_{T}$ как: $$G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]$$где базовый $S(t)$ следует стандартному геометрическому броуновскому движению . Отсюда легко посчитать, что: $$G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}$$Чтобы вывести стохастический интеграл, который первоначально был ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$, Обратите внимание, что: $$d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt$$Это может быть подтверждено леммой Ито . Интегрируя это выражение и используя тот факт, что $W_{0}=0$, мы находим, что интегралы эквивалентны — это пригодится в дальнейшем при выводе. Используя ценообразование по мартингейлу , стоимость европейского азиатского колла с геометрическим усреднением. $C_{G}$ дается: $$C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx$$Чтобы найти $\ell$, мы должны найти $x$ такой, что: $$G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K$$После некоторой алгебры мы находим, что: $${\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T$$На данный момент стохастический интеграл является камнем преткновения в поиске решения этой проблемы. Ито легко проверить Однако с помощью изометрии , что интеграл обычно распределяется как: $${\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)$$Это эквивалентно тому, что ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$ с ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$. Следовательно, мы имеем следующее: $$x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell$$Теперь можно рассчитать стоимость европейско-азиатского колла с помощью геометрического усреднения! На этом этапе полезно определить: $$b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}$$Проделав тот же процесс, что и в модели Блэка-Шоулза , мы можем обнаружить, что: $$C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})$$Фактически, используя те же аргументы для Европы и Азии, что и для геометрического усреднения ${\textstyle P_{G}}$, мы находим, что: $$P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})$$Это означает, что существует версия паритета пут-колл для европейско-азиатских опционов с геометрическим усреднением: $$C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}$$

Вариации азиатского варианта

Есть некоторые варианты, которые продаются на безрецептурном рынке. Например, BNP Paribas представил вариант, названный условным азиатским опционом, в котором средняя базовая цена основана на наблюдениях за ценами, превышающими заранее установленный порог. Условный азиатский пут-опцион принесет выгоду.

$\max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),$

где $b>0$ это порог и $I_{A}$ – индикаторная функция, равная $1$ если $A$ истинно и в противном случае равно нулю. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу, чем классический азиатский опцион пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается за деньги и прослужит до пяти лет. Цену условного азиатского опциона обсуждают Фэн и Фолькмер.