Дисперсионный гамма-процесс

Три образца траектории дисперсионных гамма-процессов (соответственно красный, зеленый, черный)

В теории случайных процессов , части математической теории вероятностей , дисперсионный гамма- ( VG ) процесс , также известный как движение Лапласа , представляет собой процесс Леви , определяемый случайным изменением времени. Процесс имеет конечные моменты , что отличает его от многих процессов Леви. нет диффузионной В процессе ВГ составляющей, и, таким образом, это чисто скачкообразный процесс . Приращения независимы и следуют гамма-распределению дисперсии , которое является обобщением распределения Лапласа .

Существует несколько представлений процесса VG, которые связывают его с другими процессами. Например, его можно записать как броуновское движение. $W(t)$ с дрейфом $\theta t$ подвергается случайному изменению времени, которое следует за гамма-процессом $\Gamma (t;1,\nu )$ (эквивалентно в литературе можно встретить обозначение $\Gamma (t;\gamma =1/\nu ,\lambda =1/\nu )$):

$X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu ))\quad .$

Альтернативный способ выразить это состоит в том, что дисперсионный гамма-процесс представляет собой броуновское движение, подчиненное гамма- субординатору .

Поскольку процесс ВГ имеет конечную вариацию, его можно записать как разность двух независимых гамма-процессов:

$X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )$

где

$\mu _{p}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}+{\frac {\theta }{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \mu _{q}:={\frac {1}{2}}{\sqrt {\theta ^{2}+{\frac {2\sigma ^{2}}{\nu }}}}-{\frac {\theta }{2}}\quad .$

В качестве альтернативы его можно аппроксимировать составным процессом Пуассона , который приводит к представлению с явно заданными (независимыми) скачками и их местоположениями. Эта последняя характеристика дает понимание структуры траектории выборки с расположением и размерами скачков.

О ранней истории процесса дисперсионной гаммы см. Seneta (2000).

Моменты

Среднее значение дисперсионного гамма-процесса не зависит от $\sigma$ и $\nu$ и дается

$\operatorname {E} [X(t)]=\theta t$

Дисперсия определяется как

$\operatorname {Var} [X(t)]=(\theta ^{2}\nu +\sigma ^{2})t$

Третий центральный момент:

$\operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{3}]=(2\theta ^{3}\nu ^{2}+3\sigma ^{2}\theta \nu )t$

Четвертый центральный момент

$\operatorname {E} [(X(t)-\operatorname {E} [X(t)])^{4}]=(3\sigma ^{4}\nu +12\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu ^{2}+6\theta ^{4}\nu ^{3})t+(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}\theta ^{2}\nu +3\theta ^{4}\nu ^{2})t^{2}$

Цена опциона

Процесс VG может быть выгодным для использования при оценке опционов, поскольку он позволяет более широко моделировать асимметрию и эксцесс, чем броуновское движение . Таким образом, модель дисперсионной гаммы позволяет последовательно оценивать опционы с разными страйками и сроками погашения, используя единый набор параметров. Мадан и Сенета представляют симметричную версию дисперсионного гамма-процесса. Мадан, Карр и Чанг расширить модель, чтобы учесть асимметричную форму, и представить формулу для оценки европейских опционов в рамках процесса дисперсионной гаммы.

Хирса и Мадан показывают, как оценивать американские опционы с учетом гаммы отклонений. Фиорани представляет численные решения для европейских и американских вариантов барьеров в рамках дисперсионного гамма-процесса. Он также предоставляет компьютерный код для определения цены ванильных и барьерных европейских и американских барьерных опционов в рамках гамма-процесса отклонений.

Лемменс и др. построить границы арифметических азиатских вариантов для нескольких моделей Леви, включая модель дисперсионной гаммы.

риска

Процесс дисперсионной гаммы успешно применяется при моделировании кредитного риска в структурных моделях. Чистый скачкообразный характер процесса и возможность контролировать асимметрию и эксцесс распределения позволяют модели правильно оценить риск дефолта ценных бумаг с коротким сроком погашения, что обычно невозможно для структурных моделей, в которых базовые активы следуют за броуновское движение. Фиорани, Лучано и Семераро модель кредитно-дефолтных свопов в соответствии с дисперсионной гаммой. В обширном эмпирическом тесте они показывают превосходство ценообразования в рамках дисперсионной гаммы по сравнению с альтернативными моделями, представленными в литературе.

Моделирование

Методы Монте-Карло для дисперсионного гамма-процесса описаны Фу (2000). Алгоритмы представлены Korn et al. (2010).

ВГ как гамма-броуновского движения с

• Входные данные: параметры VG. $\theta ,\sigma ,\nu$ и приращения времени $\Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}$, где $\sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.$
• Инициализация: установите X (0) = 0.
• Цикл: Для i = от 1 до N :

1. Создать независимую гамму $\Delta \,G_{i}\,\sim \Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu )$, и нормальный $Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ варьируется независимо от прошлых случайных переменных.
2. Возвращаться $X(t_{i})=X(t_{i-1})+\theta \,\Delta G_{i}+\sigma {\sqrt {\Delta G_{i}}}Z_{i}.$

Моделирование VG как разницы гамм

Этот подход основан на разнице гамма-представления $X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;=\;\Gamma (t;\mu _{p},\mu _{p}^{2}\,\nu )-\Gamma (t;\mu _{q},\mu _{q}^{2}\,\nu )$, где $\mu _{p},\mu _{q},\nu$ определяются, как указано выше.

• Ввод: параметры ВГ [ $\theta ,\sigma ,\nu ,\mu _{p},\mu _{q}$] и приращения времени $\Delta t_{1},\dots ,\Delta t_{N}$, где $\sum _{i=1}^{N}\Delta t_{i}=T.$
• Инициализация: установите X (0) = 0.
• Цикл: Для i = от 1 до N :

1. Сгенерируйте независимые гамма-варианты $\gamma _{i}^{-}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{q}),\quad \gamma _{i}^{+}\,\sim \,\Gamma (\Delta t_{i}/\nu ,\nu \mu _{p}),$ независимо от прошлых случайных величин.
2. Возвращаться $X(t_{i})=X(t_{i-1})+\Gamma _{i}^{+}(t)-\Gamma _{i}^{-}(t).$

Гамма дисперсии как распределение

Под ограничением, которое ${\frac {1}{\nu }}$ является целым числом, гамма-распределение дисперсии может быть представлено как функция плотности вероятности 2-EPT . При этом предположении можно получить закрытую форму цен ванильных опционов и связанных с ними греков . Подробное описание см.