Функция плотности вероятности 2-EPT

Функция плотности 2-EPT

Параметры	$({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})$ ${\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{P}))<0$ ${\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{N}))>0$
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]{\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.$
CDF	$F(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}{\textbf {A}}_{N}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]1+{\textbf {c}}_{P}{\textbf {A}}_{P}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.$
Иметь в виду	$-{\textbf {c}}_{N}(-{\textbf {A}}_{N})^{-2}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(-{\textbf {A}}_{P})^{-2}{\textbf {b}}_{P}$
CF	$-{\textbf {c}}_{N}(Iiu-{\textbf {A}}_{N})^{-1}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(Iiu-{\textbf {A}}_{P})^{-1}{\textbf {b}}_{P}$

В теории вероятностей функция плотности вероятности 2-EPT представляет собой класс функций плотности вероятности на реальной прямой. Класс содержит функции плотности всех распределений, характеристические функции которых являются строго собственными рациональными функциями (т. е. степень числителя строго меньше степени знаменателя).

Определение

Функция плотности вероятности 2-EPT — это функция плотности вероятности на $\mathbb {R}$ со строго собственной рациональной характеристической функцией . На любом $[0,+\infty )$ или $(-\infty ,0)$ эти функции плотности вероятности являются экспоненциально-полиномиально-тригонометрическими (EPT) функциями.

Любая функция плотности EPT включена $(-\infty ,0)$ может быть представлено как

$f(x)={\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N},$

где e представляет собой матричную экспоненту, $({\textbf {A}}_{N},{\textbf {A}}_{P})$ являются квадратными матрицами, $({\textbf {b}}_{N},{\textbf {b}}_{P})$ являются векторами-столбцами и $({\textbf {c}}_{N},{\textbf {c}}_{P})$ являются векторами-строками. Аналогично функция плотности EPT на $[0,-\infty )$ выражается как

$f(x)={\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}.$

Параметризация $({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})$это минимальная реализация функции 2-EPT.

Общий класс вероятностных мер на $\mathbb {R}$ с (собственными) рациональными характеристическими функциями являются плотности, соответствующие смесям точечной массы в нуле (« дельта-распределение ») и плотностей 2-EPT. В отличие от фазовых и матричных геометрических распределения, функции плотности вероятности 2-EPT определены на всей вещественной линии. Было показано, что класс плотностей 2-EPT замкнут при многих операциях, и с использованием минимальных реализаций эти расчеты были проиллюстрированы для двусторонней структуры в Секстоне и Ханзоне. Наиболее сложной операцией является свертка плотностей 2-EPT с использованием методов пространства состояний. Большая часть работ сосредоточена на способности разлагать рациональную характеристическую функцию в сумму двух рациональных функций с полюсами, расположенными либо в открытой левой, либо в открытой правой полуплоскости. параметров . Было показано, что плотность распределения гамма-дисперсии представляет собой плотность 2-EPT при ограничении

Внешние ссылки

• 2. Экспоненциально-полиномиально-тригонометрические (2-EPT) функции плотности вероятности. Архивировано 8 июля 2020 г. на веб-сайте Wayback Machine для фоновых реализаций и реализаций Matlab.