Распределение Кантора

Кантор

Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддерживать	Множество Кантора , подмножество [0,1]
ПМФ	никто
CDF	Функция Кантора
Иметь в виду	1/2
медиана	где угодно в [1/3, 2/3]
Режим	н/д
Дисперсия	1/8
асимметрия	0
Избыточный эксцесс	−8/5
МГФ	$e^{t/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cosh \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$
CF	$e^{it/2}\prod _{k=1}^{\infty }\cos \left({\frac {t}{3^{k}}}\right)$

Распределение Кантора — это распределение вероятностей которого , кумулятивной функцией является функция Кантора .

Это распределение не имеет ни функции плотности вероятности, ни функции массы вероятности , поскольку, хотя его кумулятивная функция распределения является непрерывной функцией , распределение не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега и не имеет никаких точечных масс. Таким образом, оно не является ни дискретным, ни абсолютно непрерывным распределением вероятностей, ни их смесью. Скорее это пример единичного распределения .

Ее кумулятивная функция распределения всюду непрерывна, но почти всюду горизонтальна, поэтому ее иногда называют « лестницей дьявола» , хотя этот термин имеет более общее значение.

Характеристика

Носителем множество распределения Кантора является Кантора , которое само по себе является пересечением (счетного бесконечного числа) множеств:

${\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}$

Распределение Кантора — это уникальное распределение вероятностей, для которого для любого C _t ( t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) вероятность определенного интервала в C _t, содержащего случайную величину, распределенную Кантором, тождественно 2 ^{− т} на каждом из 2 ^т интервалы.

Моменты

С помощью симметрии и ограниченности легко увидеть, что для случайной величины X, имеющей такое распределение, ее ожидаемое значение E( X ) = 1/2 и что все нечетные центральные моменты X равны 0.

Закон полной дисперсии можно использовать для нахождения дисперсии var( X ) следующим образом. Для приведенного выше множества C ₁ пусть Y = 0, если X ∈ [0,1/3], и 1, если X ∈ [2/3,1]. Затем:

${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}$

Из этого мы получаем:

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.$

Выражение в замкнутой форме для любого четного центрального момента можно найти, предварительно получив четные кумулянты.

$\kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!$

где B _{2 n} — 2 - е число Бернулли , а затем выражаем моменты как функции кумулянтов .

Дальнейшее чтение

• Хьюитт, Э.; Стромберг, К. (1965). Реальный и абстрактный анализ . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. Как и в других стандартных текстах, здесь есть функция Кантора и ее односторонние производные.
• Ху, Тянь-Ю; Лау, Ка Синг (2002). «Фурье-асимптотика мер канторового типа на бесконечности». Учеб. АМС . Том. 130, нет. 9. С. 2711–2717. Это более современный текст, чем другие тексты в этом списке литературы.
• Нилл, О. (2006). Теория вероятностей и случайные процессы . Индия: зарубежная пресса.
• Маттилла, П. (1995). Геометрия множеств в евклидовых пространствах . Сан-Франциско: Издательство Кембриджского университета. Здесь есть более продвинутый материал по фракталам.