Завернутое распространение

В теории вероятностей и направленной статистике завернутое распределение вероятностей представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое описывает точки данных, лежащие на единичной n -сфере . В одном измерении завернутое распределение состоит из точек на единичном круге . Если $\phi$ является случайной величиной в интервале $(-\infty ,\infty )$ с функцией плотности вероятности (PDF) $p(\phi )$, затем $z=e^{i\phi }$ — циклическая переменная, распределяемая в соответствии с обернутым распределением $p_{wz}(\theta )$ и $\theta =\arg(z)$ — угловая переменная в интервале $(-\pi ,\pi ]$ распределяется в соответствии с завернутым дистрибутивом $p_{w}(\theta )$.

Любая функция плотности вероятности $p(\phi )$ на линии можно «обернуть» окружность окружности единичного радиуса. То есть PDF-файл обернутой переменной

$\theta =\phi \mod 2\pi$ в некотором интервале длины $2\pi$

является

$p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}$

которая представляет собой периодическую сумму периодов $2\pi$. Предпочтительный интервал обычно составляет $(-\pi <\theta \leq \pi )$ для чего $\ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta$.

Теория

В большинстве ситуаций процесс, включающий циклическую статистику, дает углы ( $\phi$), лежащие в интервале $(-\infty ,\infty )$и описываются «развёрнутой» функцией плотности вероятности $p(\phi )$. Однако измерение даст угол $\theta$ лежащий в некотором интервале длины $2\pi$ (например, от 0 до $2\pi$). Другими словами, измерение не может сказать, является ли истинный угол $\phi$ или завернутый угол $\theta =\phi +2\pi a$, где $a$ какое-то неизвестное целое число, было измерено.

Если мы хотим вычислить ожидаемое значение некоторой функции измеренного угла, это будет:

$\langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi$.

Интеграл можно выразить как сумму интегралов за периоды $2\pi$:

$\langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi$.

Изменение переменной интегрирования на $\theta '=\phi -2\pi k$ и поменяв порядок интегрирования и суммирования, получим

$\langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '$

где $p_{w}(\theta ')$ это PDF-файл завернутого дистрибутива и $a'$ еще одно неизвестное целое число $(a'=a+k)$. Неизвестное целое число $a'$ вносит неоднозначность в ожидаемое значение $f(\theta )$, аналогично задаче вычисления среднего углового значения . Эту проблему можно решить, введя параметр $z=e^{i\theta }$, с $z$ имеет однозначное отношение к истинному углу $\phi$:

$z=e^{i\theta }=e^{i\phi }$.

Вычисление ожидаемого значения функции $z$ даст однозначные ответы:

$\langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '$.

По этой причине $z$ параметр предпочтительнее измеренных углов $\theta$ в круговом статистическом анализе. Это предполагает, что завернутую функцию распределения можно выразить как функцию $z$ такой, что:

$\langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz$

где $p_{w}(z)$ определяется так , что $p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|$. Эту концепцию можно распространить на многомерный контекст путем расширения простой суммы до ряда $F$ суммы, охватывающие все измерения в пространстве признаков:

$p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}$

где $\mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}$ это $k$й евклидов базисный вектор.

Выражение через характеристические функции

Фундаментальным обернутым распределением является гребенка Дирака , которая представляет собой обернутую дельта-функцию Дирака :

$\Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}$.

Используя дельта-функцию, можно записать общее обернутое распределение.

$p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '$.

Поменяв порядок суммирования и интегрирования, любое завернутое распределение можно записать как свертку развернутого распределения и гребенки Дирака:

$p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '$.

Гребень Дирака также можно выразить как сумму экспонент, поэтому мы можем написать:

$p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '$.

Опять меняя порядок суммирования и интегрирования:

$p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '$.

Используя определение $\phi (s)$, характеристическая функция $p(\theta )$ дает ряд Лорана около нуля для развернутого распределения в терминах характеристической функции развернутого распределения:

$p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }$

или

$p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}$

Аналогично линейным распределениям, $\phi (m)$ называется характеристической функцией свернутого распределения (или, точнее, характеристической последовательностью ). Это пример формулы суммирования Пуассона , и можно видеть, что коэффициенты ряда Фурье для свернутого распределения — это просто коэффициенты преобразования Фурье развернутого распределения при целочисленных значениях.

Моменты

Моменты завернутого дистрибутива $p_{w}(z)$ определяются как:

$\langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz$.

Выражение $p_{w}(z)$ в терминах характеристической функции и меняя порядок интегрирования и суммирования дает:

$\langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz$.

Из теоремы о вычетах имеем

$\oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}$

где $\delta _{k}$ – дельта- функция Кронекера. Отсюда следует, что моменты просто равны характеристической функции развернутого распределения для целочисленных аргументов:

$\langle z^{m}\rangle =\phi (m)$.

Генерация случайных величин

Если $X$ это случайная величина, полученная из линейного распределения вероятностей $P$, затем $Z=e^{iX}$ представляет собой круговую переменную, распределенную в соответствии с обернутым $P$ распространение и $\theta =\arg(Z)$ - это угловая переменная, распределенная в соответствии с обернутым $P$ распространение, с $-\pi <\theta \leq \pi$.

Энтропия

Информационная энтропия кругового распределения с плотностью вероятности $p_{w}(\theta )$ определяется как:

$H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta$

где $\Gamma$ любой интервал длины $2\pi$. Если и плотность вероятности, и ее логарифм могут быть выражены в виде ряда Фурье (или, в более общем смысле, любого интегрального преобразования на окружности), ортогональный базис ряда можно использовать для получения в замкнутой форме выражения энтропии .

Моменты раздачи $\phi (n)$ – коэффициенты Фурье для разложения плотности вероятности в ряд Фурье:

$p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }$.

Если логарифм плотности вероятности также можно выразить в виде ряда Фурье:

$\ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }$

где

$c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta$.

Тогда, поменяв порядок интегрирования и суммирования, энтропию можно записать как:

$H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta$.

Используя ортогональность базиса Фурье, интеграл можно свести к:

$H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}$.

Для частного случая, когда плотность вероятности симметрична относительно среднего значения, $c_{-m}=c_{m}$ а логарифм можно записать:

$\ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )$

и

$c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta$

и, поскольку нормализация требует, чтобы $\phi _{0}=1$, энтропию можно записать:

$H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}$.

См. также

• Завернутое нормальное распределение
• Завернутое распределение Коши
• Обернутое экспоненциальное распределение

Ссылки

• Боррадейл, Грэм (2003). Статистика данных наук о Земле . Спрингер. ISBN  978-3-540-43603-4 .
• Фишер, Нью-Йорк (1996). Статистический анализ круговых данных . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-56890-6 .

Внешние ссылки

• Математика и статистика круговых значений с C++11 . Инфраструктура C++11 для математики и статистики круговых значений (углы, время суток и т. д.).