Круговое среднее

В математике и статистике среднее круговое или среднее угловое — это среднее значение, предназначенное для углов и подобных циклических величин, таких как время суток и дробные части действительных чисел .

Это необходимо, поскольку большинство обычных средств могут оказаться неприемлемыми для величин, подобных углам. Например, среднее арифметическое значений 0° и 360° равно 180°, что вводит в заблуждение, поскольку 360° равняется 0° по модулю полного цикла. Другой пример: «среднее время» между 23:00 и 1:00 — это либо полночь, либо полдень, в зависимости от того, являются ли эти два времени частью одной ночи или частью одного календарного дня.

Круговое среднее — один из простейших примеров статистики направлений и статистики неевклидовых пространств . Это вычисление дает результат, отличный от среднего арифметического, причем разница становится больше, когда углы широко распределены. Например, среднее арифметическое трех углов 0°, 0° и 90° равно (0° + 0° + 90°)/3 = 30°, а среднее векторное значение равно arctan(1/2) = 26,565°. . Более того, при использовании среднего арифметического круговая дисперсия определяется только ±180°.

Определение

Поскольку среднее арифметическое не всегда подходит для углов, можно использовать следующий метод для получения как среднего значения, так и меры дисперсии углов :

Преобразуйте все углы в соответствующие точки единичного круга , например: $\alpha$ к $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$. То есть преобразовать полярные координаты в декартовы координаты . Затем вычислите среднее арифметическое этих точек. Полученная точка будет лежать внутри единичного круга , но, как правило, не на единичном круге. Преобразуйте эту точку обратно в полярные координаты. Угол является разумным средним значением входных углов. Результирующий радиус будет равен 1, если все углы равны. Если углы равномерно распределены по окружности, то результирующий радиус будет равен 0, и среднего кругового значения не существует. (На самом деле невозможно определить непрерывную операцию среднего на окружности.) Другими словами, радиус измеряет концентрацию углов.

Учитывая углы $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ Общая формула среднего значения с использованием atan2 варианта функции арктангенса :

${\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)$

Использование сложной арифметики

Эквивалентное определение можно сформулировать с использованием комплексных чисел :

${\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)$.

Чтобы сопоставить приведенный выше вывод с использованием средних арифметических точек, суммы необходимо разделить на $n$. Однако масштаб не имеет значения для $\operatorname {atan2}$ и $\arg$, поэтому его можно опустить.

Это можно выразить более кратко, если учесть, что данные о направлении на самом деле представляют собой векторы единичной длины. В случае одномерных данных эти точки данных можно удобно представить как комплексные числа единичной величины. $z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }$, где $\theta$ – измеренный угол. Тогда средний результирующий вектор для выборки будет:

${\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.$

Средний угол выборки тогда является аргументом среднего результирующего:

${\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).$

Длина выборочного среднего результирующего вектора равна:

${\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|$

и будет иметь значение от 0 до 1. Таким образом, результирующий вектор выборочного среднего можно представить как:

${\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.$

Подобные расчеты также используются для определения круговой дисперсии .

Свойства

Круговое среднее, ${\bar {\alpha }}$

• максимизирует правдоподобие среднего параметра распределения фон Мизеса и
• минимизирует сумму определенного расстояния по окружности, точнее

${\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ where }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).$

Расстояние $d(\varphi ,\beta )$ равен половине квадрата евклидова расстояния между двумя точками единичного круга, связанного с $\varphi$ и $\beta$.

Пример

Простой способ вычислить среднее значение ряда углов (в интервале [0°, 360°)) — вычислить среднее значение косинусов и синусов каждого угла и получить угол путем вычисления обратного тангенса. В качестве примера рассмотрим следующие три угла: 10, 20 и 30 градусов. Интуитивно понятно, что вычисление среднего значения будет включать в себя сложение этих трех углов и деление на 3, что в данном случае действительно приведет к правильному среднему углу, равному 20 градусам. Повернув эту систему против часовой стрелки на 15 градусов, три угла станут 355 градусов, 5 градусов и 15 градусов. Среднее арифметическое теперь составляет 125 градусов, что является неправильным ответом, так как должно быть 5 градусов. Вектор означает ${\textstyle {\bar {\theta }}}$ можно вычислить следующим образом, используя средний синус ${\textstyle {\bar {s}}}$ и средний косинус ${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$:

${\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086$

${\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986$

${\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.$

Реализация

В этом коде Python мы используем дневные часы, чтобы найти среднее их число:

import math

def circular_mean(hours):
    # Convert hours to radians
    # To convert from hours to degrees, we need to
    # multiply hour by 360/24 = 15.
    radians = [math.radians(hour * 15) for hour in hours]

    # Calculate the sum of sin and cos values
    sin_sum = sum([math.sin(rad) for rad in radians])
    cos_sum = sum([math.cos(rad) for rad in radians])

    # Calculate the circular mean using arctan2
    mean_rad = math.atan2(sin_sum, cos_sum)

    # Convert the mean back to hours
    mean_hour = (math.degrees(mean_rad) / 15) % 24

    return mean_hour

# Example usage:
hours = [0, 12, 18]
mean_hour = circular_mean(hours)
print("First Circular mean:", round(mean_hour, 2))

hours = [0, 12]
mean_hour = circular_mean(hours)
print("Second Circular mean:", round(mean_hour, 2))

hours = [0, 0, 12, 12, 24]
mean_hour = circular_mean(hours)
print("Third Circular mean:", round(mean_hour, 2))

Обобщения

Сферическое среднее

Этот раздел представляет собой отрывок из распределения фон Мизеса-Фишера § Среднее направление . [ редактировать ]

Серия N независимых единичных векторов $x_{i}$ взяты из распределения фон Мизеса-Фишера. Оценки максимального правдоподобия среднего направления $\mu$ — это просто нормализованное среднее арифметическое , достаточная статистика :

$\mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,$

Взвешенное сферическое среднее

Взвешенное сферическое среднее можно определить на основе сферической линейной интерполяции .

См. также

• Центр масс
• центроид
• Круговое распределение
• Круговое стандартное отклонение
• Направленная статистика
• Фреше означает

Дальнейшее чтение

• Джаммаламадака, С. Рао и СенГупта, А. (2001). Темы круговой статистики , раздел 1.3, World Scientific Press, Сингапур. ISBN   981-02-3778-2
• Хотц, Томас (2013). «Внешние и внутренние средства круга». Конспекты лекций по информатике . Том. 8085. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 433–440. дои : 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN  978-3-642-40019-3 . ISSN   0302-9743 .

Внешние ссылки

• Математика и статистика круговых значений с C++11 . Инфраструктура C++11 для математики и статистики круговых значений (углы, время суток и т. д.).