Фреше означает

В математике и статистике — среднее Фреше это обобщение центроидов на метрические пространства , дающее единственную репрезентативную точку или центральную тенденцию для группы точек. Он назван в честь Мориса Фреше . Средство Керхера — это переименование конструкции Риманова центра масс, разработанной Карстеном Гроувом и Германом Керхером . В действительных числах среднее арифметическое , медиана , среднее геометрическое и среднее гармоническое можно интерпретировать как средние значения Фреше для различных функций расстояния.

Определение

Пусть ( M , d ) — полное метрическое пространство. Пусть x ₁ , x ₂ , …, x _N — точки в M . Для любой точки p в M определите дисперсию Фреше как сумму квадратов расстояний от p до x _i :

$\Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})$

— Тогда средние значения Керхера это те точки m из M , которые минимизируют Ψ:

$m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})$

Если существует единственное m из M , которое строго минимизирует Ψ, то это среднее Фреше .

Иногда x _i присваиваются веса w _i . Затем дисперсии Фреше и среднее значение Фреше определяются с использованием взвешенных сумм:

$\Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).$

Примеры средств Фреше

Среднее арифметическое и медиана

Для действительных чисел среднее арифметическое представляет собой среднее значение Фреше, в котором в качестве функции расстояния используется обычное евклидово расстояние.

Медиана . также является средним значением Фреше, если определение функции Ψ обобщается на неквадратичное значение

$\Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),$

где $\alpha =1$, а евклидово расстояние — это функция расстояния d . В пространствах более высоких измерений это становится геометрической медианой .

Среднее геометрическое

В положительных действительных числах (гиперболическая) функция расстояния $d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|$ можно определить. Среднее геометрическое — это соответствующее среднее Фреше. Действительно $f:x\mapsto e^{x}$ тогда является изометрией евклидова пространства этому «гиперболическому» пространству и должна соответствовать среднему Фреше: среднему Фреше $x_{i}$ это изображение автор $f$ среднего Фреше (в евклидовом смысле) $f^{-1}(x_{i})$, то есть должно быть:

$f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}$.

Гармоническое среднее

На положительных действительных числах метрика : (функция расстояния)

$d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|$

можно определить. Гармоническое среднее — это соответствующее среднее Фреше.

Сила означает

Учитывая ненулевое действительное число $m$, среднее степенное можно получить как среднее Фреше, введя метрику

$d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|$

f-среднее

Дана обратимая и непрерывная функция $f$, f-среднее можно определить как среднее Фреше, полученное с использованием метрики:

$d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|$

Иногда это называют обобщенным f-средним или квазиарифметическим средним .

Взвешенные средние

Общее определение среднего значения Фреше, включающее возможность взвешивания наблюдений, можно использовать для получения взвешенных версий для всех вышеперечисленных типов средних.

См. также

• Круговое среднее
• Расстояние Фреше
• М-оценщик
• Геометрическая медиана