F -распределение

Эта статья о центральном F-распределении. Чтобы узнать об обобщенном распределении, см. нецентральное F-распределение . Чтобы узнать о других значениях, см. F-ratio .

Не путать с F -статистикой , используемой в популяционной генетике .

Фишер-Снедекор

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	d 1 , d 2 > 0 град. свободы
Поддерживать	$x\in (0,+\infty )\;$ если $d_{1}=1$, в противном случае $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
CDF	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
Иметь в виду	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ для d 2 > 2
Режим	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ для d 1 > 2
Дисперсия	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ для d 2 > 4
асимметрия	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ для d 2 > 6
Избыточный эксцесс	см. текст
Энтропия	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
МГФ	не существует, сырые моменты определены в тексте и в
CF	см. текст

В теории вероятностей и статистике F - распределение или F- отношение , также известное как Снедекора F- распределение или распределение Фишера-Снедекора (в честь Рональда Фишера и Джорджа Снедекора ), представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое часто возникает как нулевое распределение. тестовой статистики , особенно в дисперсионном анализе (ANOVA) и других F -тестах .

Определение

F -распределение со степенями свободы d ₁ и d ₂ представляет собой распределение

$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$

где ${\textstyle U_{1}}$ и ${\textstyle U_{2}}$ являются независимыми случайными величинами с распределениями хи-квадрат с соответствующими степенями свободы. ${\textstyle d_{1}}$ и ${\textstyle d_{2}}$.

Можно показать, что функция плотности вероятности (pdf) для X определяется выражением

${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}$

для реального x > 0. Здесь $\mathrm {B}$это бета-функция . Во многих приложениях параметры d ₁ и d ₂ являются целыми положительными числами , но распределение четко определено для положительных действительных значений этих параметров.

Кумулятивная функция распределения равна

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

где I — регуляризованная неполная бета-функция .

Ожидание, дисперсия и другие подробности о F( d ₁ , d ₂ ) приведены во врезке; для d ₂ > 8 избыточный эксцесс равен

$\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$

k - й момент распределения F( d ₁ , d ₂ ) существует и конечен только тогда, когда 2 k < d ₂ и он равен

$\mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.$

F - распределение — это особая параметризация простого бета -распределения , которое также называют бета-распределением второго рода.

Характеристическая функция неправильно указана во многих стандартных источниках (например, ). Правильное выражение является

$\varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)$

где U ( a , b , z ) — вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.

Характеристика

Случайная величина F -распределения с параметрами $d_{1}$ и $d_{2}$ возникает как соотношение двух соответственно масштабированных хи-квадрат : переменных

$X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$

где

• $U_{1}$ и $U_{2}$ имеют распределения хи-квадрат с $d_{1}$ и $d_{2}$ степени свободы соответственно и
• $U_{1}$ и $U_{2}$ независимы ​ .

В тех случаях, когда используется F -распределение, например при дисперсионном анализе , независимость $U_{1}$ и $U_{2}$ можно продемонстрировать, применив теорему Кокрена .

Эквивалентно, случайная величина F -распределения также может быть записана

$X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},$

где $s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}$ и $s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}$, $S_{1}^{2}$ представляет собой сумму квадратов $d_{1}$ случайные величины из нормального распределения $N(0,\sigma _{1}^{2})$ и $S_{2}^{2}$ представляет собой сумму квадратов $d_{2}$ случайные величины из нормального распределения $N(0,\sigma _{2}^{2})$.

Таким образом, в частотном контексте масштабированное F -распределение дает вероятность $p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})$, с самим F -распределением, без какого-либо масштабирования, применяя где $\sigma _{1}^{2}$ принимается равным $\sigma _{2}^{2}$. Это контекст, в котором F -распределение чаще всего появляется в F -тестах : где нулевая гипотеза состоит в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, а затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых правильно выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их соотношение статистически значимым. несовместимо с этой нулевой гипотезой.

Количество $X$ имеет такое же распределение в байесовской статистике, для априорных вероятностей если $\sigma _{1}^{2}$ и $\sigma _{2}^{2}$. Таким образом , в этом контексте масштабированное F -распределение дает апостериорную вероятность $p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})$, где наблюдаемые суммы $s_{1}^{2}$ и $s_{2}^{2}$ теперь принимаются как известные.

Свойства и связанные дистрибутивы

• Если $X\sim \chi _{d_{1}}^{2}$ и $Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}$ ( распределение хи-квадрат ) независимы , то ${\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$
• Если $X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,$ ( Гамма-распределение ) независимы, то ${\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})$
• Если $X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ ( Бета-распределение ) тогда ${\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$
• Эквивалентно, если $X\sim F(d_{1},d_{2})$, затем ${\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$.
• Если $X\sim F(d_{1},d_{2})$, затем ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X$ имеет бета-простое распределение : ${\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$.
• Если $X\sim F(d_{1},d_{2})$ затем $Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X$ имеет распределение хи-квадрат $\chi _{d_{1}}^{2}$
• $F(d_{1},d_{2})$ эквивалентно масштабированному Т-квадратному распределению Хотеллинга ${\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)$.
• Если $X\sim F(d_{1},d_{2})$ затем $X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})$.
• Если $X\sim t_{(n)}$ — t-распределение Стьюдента — тогда:
  $${\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}$$
• F -распределение является частным случаем распределения Пирсона 6-го типа.
• Если $X$ и $Y$ независимы, с $X,Y\sim$ ( Лапласа , b ) тогда
  $${\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$$
• Если $X\sim F(n,m)$ затем ${\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$ ( Z-распределение Фишера )
• Нецентральное -распределения , F -распределение упрощается до F если $\lambda =0$.
• Дважды нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения, если $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$
• Если $\operatorname {Q} _{X}(p)$ это квантиль p для $X\sim F(d_{1},d_{2})$ и $\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$ это квантиль $1-p$ для $Y\sim F(d_{2},d_{1})$, затем
  $$\operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.$$
• F -распределение является примером распределения отношений.
• W -распределение является уникальной параметризацией F-распределения.

См. также

• Бета-простое распределение
• Распределение хи-квадрат
• Чау-тест
• Гамма-распределение
• Распределение Хотеллинга Т-квадрат
• Лямбда-распределение Уилкса
• Распределение желаний
• Модифицированное полунормальное распределение с PDF-файлом на $(0,\infty )$ дается как $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$, где $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ обозначает Пси-функцию Фокса–Райта .

Внешние ссылки

• Таблица критических значений F -распределения
• Самое раннее использование некоторых слов математики: статья о F -распределении содержит краткую историю.
• Бесплатный калькулятор для F -тестирования