Обобщенное гиперболическое распределение

Обобщенная гипербола

Параметры	$\lambda$ (настоящий) $\alpha$ (настоящий) $\beta$ параметр асимметрии (действительный) $\delta$ параметр масштаба (действительный) $\mu$ местоположение ( реальное ) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!$ ${}\times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!$
Иметь в виду	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
Дисперсия	${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
МГФ	${\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$

Обобщенное гиперболическое распределение ( GH ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определенное как нормальная смесь дисперсии и среднего , где распределение смешивания представляет собой обобщенное обратное распределение Гаусса (GIG). Его функция плотности вероятности (см. рамку) задается через модифицированную функцию Бесселя второго рода , обозначаемую $K_{\lambda }$. Его представил Оле Барндорф-Нильсен , который изучал его в контексте физики переносимого ветром песка .

Характеристики

Линейное преобразование

Этот класс замкнут относительно аффинных преобразований .

Суммирование

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делится , и поскольку распределение GH может быть получено как нормальная смесь дисперсии и среднего, где распределение смешивания представляет собой обобщенное обратное распределение Гаусса , Барндорф-Нильсен и Халгрин показали, что распределение GH бесконечно тоже делимый.

Не может быть закрыта сверткой

Важным моментом в отношении бесконечно делимых распределений является их связь с процессами Леви , т.е. в любой момент времени процесс Леви распределен бесконечно делимо. Многие семейства известных бесконечно делимых распределений являются так называемыми сверточно-замкнутыми, т.е. если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству распределений. Например, пуассоновский процесс будет распределен по Пуассону во все моменты времени, или броуновское движение будет нормально распределено во все моменты времени. Однако процесс Леви, который является обобщенно-гиперболическим в один момент времени, может не быть обобщенно-гиперболическим в другой момент времени. Фактически, обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные распределения Гаусса являются единственными подклассами обобщенных гиперболических распределений, замкнутыми при свертке.

Связанные дистрибутивы

Как следует из названия, оно имеет очень общую форму, являясь суперклассом, среди прочего, Стьюдента t -распределения , распределения Лапласа , гиперболического распределения , нормально-обратного распределения Гаусса и распределения дисперсии-гаммы .

• $\mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,$ представляет собой Стьюдента t -распределение с $\nu$ степени свободы.
• $\mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,$ является гиперболическим распределением .

• $\mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,$ представляет собой нормально-обратное распределение Гаусса (NIG).
• $\mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,$ нормальное обратное распределение хи-квадрат
• $\mathrm {GH} ({\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}},{\text{?}})\,$ нормально-обратное гамма-распределение (NI)
• $\mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,$ представляет собой гамма-распределение дисперсии
• $\mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,$ представляет собой распределение Лапласа с параметром местоположения $\mu$ и параметр масштабирования 1.

Приложения

В основном применяется в областях, где требуется достаточная вероятность поведения в дальней зоне. , которое оно может моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам — свойству, которым нормальное распределение не обладает . Обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, особенно в области моделирования финансовых рынков и управления рисками, из-за его полутяжелых хвостов.