Нормальная смесь дисперсии и среднего значения

В теории вероятностей и статистике — нормальная смесь дисперсии и среднего с плотностью вероятности смешивания. $g$ это непрерывное распределение вероятностей случайной величины $Y$ формы

Y=\alpha +\beta V+\sigma {\sqrt {V}}X,

где $\alpha$ , $\beta$ и $\sigma >0$ действительные числа и случайные величины $X$ и $V$ независимы , $X$ со обычно распределяется средним нулевым значением и единицей дисперсии, и $V$ на непрерывно распределяется положительной полуоси с функцией плотности вероятности $g$ . Условное распределение $Y$ данный $V$ таким образом, это нормальное распределение со средним значением $\alpha +\beta V$ и дисперсия $\sigma ^{2}V$ . Нормальную смесь дисперсии и среднего можно рассматривать как распределение определенной величины в неоднородной совокупности, состоящей из множества различных субпопуляций с нормальным распределением. Это распределение положения винеровского процесса (броуновского движения) со сносом. $\beta$ и бесконечно малая дисперсия $\sigma ^{2}$ наблюдается в случайный момент времени, не зависящий от винеровского процесса и с функцией плотности вероятности $g$ . Важным примером нормальных смесей дисперсии и среднего является обобщенное гиперболическое распределение , в котором распределение смешивания представляет собой обобщенное обратное распределение Гаусса .

Функция плотности вероятности нормальной смеси дисперсии и среднего с плотностью вероятности смешивания $g$ является

f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}v}}}\exp \left({\frac {-(x-\alpha -\beta v)^{2}}{2\sigma ^{2}v}}\right)g(v)\,dv

и его производящая функция момента равна

M(s)=\exp(\alpha s)\,M_{g}\left(\beta s+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}s^{2}\right),

где $M_{g}$ - производящая момент функция распределения вероятностей с функцией плотности $g$ , то есть

M_{g}(s)=E\left(\exp(sV)\right)=\int _{0}^{\infty }\exp(sv)g(v)\,dv.

См. также

Ссылки

О. Е. Барндорф-Нильсен , Дж. Кент и М. Соренсен (1982): «Нормальные смеси дисперсии и средних значений и z-распределения», International Statistical Review , 50, 145–159.