Распределение log-t

Log-t или Log-Студент t

Параметры	${\hat {\mu }}$ ( реальный ), параметр местоположения $\displaystyle {\hat {\sigma }}>0\!$ (реальный), параметр масштаба $\nu$ (действительный), параметр степеней свободы ( форма )
Поддерживать	$\displaystyle x\in (0,+\infty )\!$
PDF	$p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$
Иметь в виду	бесконечный
медиана	$e^{\hat {\mu }}\,$
Дисперсия	бесконечный
асимметрия	не существует
Избыточный эксцесс	не существует
МГФ	не существует

В теории вероятностей распределение log-t или лог-распределение Стьюдента представляет собой распределение вероятностей , случайной величины которой логарифм распределяется в соответствии с t-распределением Стьюдента . Если X — случайная величина с t-распределением Стьюдента, то Y = exp( X ) имеет логарифмическое t-распределение; аналогично, если Y имеет log-t-распределение, то X = log( Y ) имеет t-распределение Стьюдента.

Характеристика

Распределение log-t имеет функцию плотности вероятности :

$p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$,

где ${\hat {\mu }}$ - параметр местоположения основного (нестандартизованного) t-распределения Стьюдента, ${\hat {\sigma }}$ - параметр масштаба основного (нестандартизованного) t-распределения Стьюдента, и $\nu$ — это количество степеней свободы основного t-распределения Стьюдента. Если ${\hat {\mu }}=0$ и ${\hat {\sigma }}=1$ тогда базовым распределением является стандартизированное t-распределение Стьюдента.

Если $\nu =1$ тогда распределение является логарифмическим распределением Коши . Как $\nu$ приближается к бесконечности , распределение приближается к логнормальному распределению . Хотя логарифмически нормальное распределение имеет конечные моменты , для любых конечных степеней свободы среднее значение и дисперсия , а также все высшие моменты логарифмического распределения бесконечны или не существуют.

Распределение log-t является частным случаем обобщенного бета-распределения второго рода . Распределение log-t является примером сложного распределения вероятностей между логнормальным распределением и обратным гамма-распределением , при этом параметр дисперсии логнормального распределения представляет собой случайную величину, распределенную в соответствии с обратным гамма-распределением.

Приложения

Распределение log-t находит применение в финансах. Например, распределение доходности фондового рынка часто имеет более толстые хвосты, чем нормальное распределение , и, таким образом, имеет тенденцию лучше соответствовать t-распределению Стьюдента, чем нормальному распределению. Хотя модель Блэка-Шоулза, основанная на логарифмически нормальном распределении, часто используется для оценки опционов на акции , формулы оценки опционов, основанные на логарифмическом распределении, могут быть предпочтительной альтернативой, если доходность имеет «толстые хвосты». Тот факт, что распределение log-t имеет бесконечное среднее значение, является проблемой при его использовании для оценки вариантов, но существуют методы преодоления этого ограничения, например, путем усечения функции плотности вероятности до некоторого произвольно большого значения.

Распределение log-t также находит применение в гидрологии и при анализе данных о ремиссии рака .

Многомерное распределение log-t

Аналогично логнормальному распределению существуют многомерные формы распределения log-t. В этом случае параметр местоположения заменяется вектором µ , параметр масштаба заменяется матрицей Σ .