Обратное гамма-распределение

Обратная гамма

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\alpha >0$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ масштаб ( реальный )
Поддерживать	$x\in (0,\infty )\!$
PDF	${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)$
CDF	${\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!$
Иметь в виду	${\frac {\beta }{\alpha -1}}\!$ для $\alpha >1$
Режим	${\frac {\beta }{\alpha +1}}\!$
Дисперсия	${\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!$ для $\alpha >2$
асимметрия	${\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!$ для $\alpha >3$
Избыточный эксцесс	${\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!$ для $\alpha >4$
Энтропия	$\alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )$ (см. описание функции )
МГФ	Не существует.
CF	${\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)$

В теории вероятностей и статистике обратное гамма-распределение представляет собой двухпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей на положительной действительной линии , которая представляет собой распределение обратной величины переменной, распределенной согласно гамма-распределению .

Возможно, обратное гамма-распределение главным образом используется в байесовской статистике , где распределение возникает как предельное апостериорное распределение для неизвестной дисперсии нормального распределения , если неинформативное априорное распределение используется , и как аналитически управляемое сопряженное априорное распределение , если информативное распределение. предварительный требуется. Среди некоторых байесовцев принято рассматривать альтернативную параметризацию нормального распределения с точки зрения точности , определяемой как обратную величину дисперсии, что позволяет использовать гамма-распределение непосредственно в качестве сопряженного априорного значения. Другие байесовцы предпочитают параметризовать обратное гамма-распределение по-другому, как масштабированное обратное распределение хи-квадрат .

Характеристика

Функция плотности вероятности

обратного гамма-распределения Функция плотности вероятности определяется на носителе $x>0$

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)$

с параметром формы $\alpha$ и параметр масштабирования $\beta$. Здесь $\Gamma (\cdot )$ обозначает гамма-функцию .

В отличие от гамма-распределения , которое содержит несколько похожий экспоненциальный член, $\beta$ является параметром масштаба, поскольку функция распределения удовлетворяет:

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения представляет собой регуляризованную гамма-функцию.

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!$

где числитель — верхняя неполная гамма-функция , а знаменатель — гамма-функция . Многие математические пакеты позволяют выполнять прямое вычисление $Q$, регуляризованная гамма-функция.

Моменты

При условии, что $\alpha >n$, $n$-й момент обратного гамма-распределения определяется выражением

$\mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.$

Характеристическая функция

Обратное гамма-распределение имеет характеристическую функцию $${\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)$$ где $K_{\alpha }$ – модифицированная функция Бесселя 2-го рода.

Характеристики

Для $\alpha >0$ и $\beta >0$,

$\mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,$

и

$\mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,$

Информационная энтропия – это

${\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}$

где $\psi (\alpha )$ это дигамма-функция .

Расхождение Кульбака -Лейблера обратной гаммы( α _p , β _p ) от обратной гаммы ( α _q , β _q ) такое же, как КЛ-дивергенция гаммы ( α _p , β _p ) от гаммы ( α _q , β _q ):

$D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],$

где $\rho ,\pi$ представляют собой PDF-файлы распределений обратной гаммы и $\rho _{G},\pi _{G}$ это PDF-файлы гамма-распределений, $Y$ распределена гамма( α _p , β _p ).

${\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}$

Связанные дистрибутивы

• Если $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )$ затем $kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,$, для $k>0$
• Если $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})$ затем $X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,$ ( распределение обратного хи-квадрата )
• Если $X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})$ затем $X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,$ ( масштабированное распределение обратного хи-квадрата )
• Если $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})$ затем $X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,$ ( Распределение Леви )
• Если $X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)$ затем ${\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,$ ( Экспоненциальное распределение )
• Если $X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,$ ( Гамма-распределение с скорости параметром $\beta$) затем ${\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,$ (подробнее см. вывод в следующем параграфе)
• Обратите внимание, что если $X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )$ (Гамма-распределение с масштабным параметром $\theta$ ) затем $1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )$
• Обратное гамма-распределение является частным случаем распределения Пирсона 5-го типа.
• Многомерным обратное распределение обобщением обратного гамма-распределения является Вишарта .
• О распределении суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский (2001).

Вывод из гамма-распределения

Позволять $X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )$и напомним, что PDF- распределение гамма-распределения имеет вид

$f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$, $x>0$.

Обратите внимание, что $\beta$ — параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.

Определите преобразование $Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}$. Затем PDF-файл $Y$ является

${\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}$

Обратите внимание, что $\beta$ — параметр масштаба с точки зрения обратного гамма-распределения. Это можно непосредственно продемонстрировать, увидев, что $\beta$ удовлетворяет условиям параметра масштаба .

${\begin{aligned}{\frac {f_{\beta }(y/\beta )}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&=f_{\beta =1}(y)\end{aligned}}$

возникновение

• времени достижения Распределение винеровского процесса следует распределению Леви , которое является частным случаем обратного гамма-распределения с $\alpha =0.5$.

См. также

• Гамма-распределение
• Распределение обратного хи-квадрата
• Нормальное распределение
• Распределение Пирсона

Ссылки

• Хофф, П. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Спрингер.
• Витковский, В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика . 37 (1): 79–90. МР   1825758 . Збл   1263.62022 .