Гипоэкспоненциальное распределение

Гипоэкспонента

Параметры	$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}>0\,$ цены ( реальные )
Поддерживать	$x\in [0;\infty )\!$
PDF	Выражается как распределение фазового типа $-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}$ Не имеет другой простой формы; подробности смотрите в статье
CDF	Выражается как распределение фазового типа $1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}$
Иметь в виду	$\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,$
медиана	Общей закрытой формы не существует.
Режим	$(k-1)/\lambda$ если $\lambda _{k}=\lambda$, для всех k
Дисперсия	$\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2}$
асимметрия	$2(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{3})/(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2})^{3/2}$
Избыточный эксцесс	нет простой закрытой формы
МГФ	${\boldsymbol {\alpha }}(tI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1}$
CF	${\boldsymbol {\alpha }}(itI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1}$

В теории вероятностей гипоэкспоненциальное распределение или обобщенное распределение Эрланга представляет собой непрерывное распределение , которое нашло применение в тех же областях, что и распределение Эрланга, таких как теория массового обслуживания , инженерия телетрафика и, в более общем плане, в случайных процессах . Его называют гипоэкспоненциальным распределением, поскольку оно имеет коэффициент вариации меньше единицы по сравнению с гиперэкспоненциальным распределением , коэффициент вариации которого больше единицы, и экспоненциальным распределением , коэффициент вариации которого равен единице.

Обзор

Распределение Эрланга представляет собой серию k экспоненциальных распределений со скоростью $\lambda$. Гипоэкспонента — это серия k экспоненциальных распределений, каждое из которых имеет свою скорость. $\lambda _{i}$, скорость $i^{th}$ экспоненциальное распределение. Если у нас есть k независимо распределенных экспоненциальных случайных величин ${\boldsymbol {X}}_{i}$, то случайная величина,

${\boldsymbol {X}}=\sum _{i=1}^{k}{\boldsymbol {X}}_{i}$

распределено гипоэкспоненциально. Гипоэкспонента имеет минимальный коэффициент вариации $1/k$.

Связь с распределением фазового типа

В результате определения легче рассматривать это распределение как частный случай распределения фазового типа . Распределение фазового типа — это время поглощения марковского процесса с конечным состоянием . Если у нас есть процесс с состоянием k+1 , где первые состояния k являются переходными, а состояние k+1 является поглощающим состоянием, то распределение времени от начала процесса до достижения поглощающего состояния является распределенным по фазовому типу. . Это становится гипоэкспонентой, если мы начнем с первой единицы и без пропусков перейдем из состояния i в i+1 со скоростью $\lambda _{i}$ до тех пор, пока состояние k не перейдет со скоростью $\lambda _{k}$ в поглощающее состояние k+1 . Это можно записать в виде матрицы подгенератора:

$\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]\;.$

Для простоты обозначим приведенную выше матрицу $\Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$. Если вероятность запуска в каждом из k состояний равна

${\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0)$

затем $Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).$

Случай с двумя параметрами

Если распределение имеет два параметра ( $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$) явные формы функций вероятности и связанной с ними статистики:

ВПР: $F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}+{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{2}x}$

PDF: $f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})$

Иметь в виду: ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}$

Разница: ${\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}$

Коэффициент вариации: ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

Коэффициент вариации всегда меньше 1.

Учитывая выборочное среднее ( ${\bar {x}}$) и выборочный коэффициент вариации ( $c$), параметры $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ можно оценить следующим образом:

$\lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}$

$\lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}$

Эти оценки можно получить с помощью методов моментов, полагая ${\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}={\bar {x}}$ и ${\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=c$.

Результирующие параметры $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ являются действительными ценностями, если $c^{2}\in [0.5,1]$.

Характеристика

Случайная величина ${\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})$ имеет кумулятивную функцию распределения, определяемую формулой:

$F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}$

и функция плотности ,

$f(x)=-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}\;,$

где ${\boldsymbol {1}}$ представляет собой вектор-столбец из единиц размера k и $e^{A}$ является экспонентой A . матричной Когда $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ для всех $i\neq j$, функцию плотности можно записать как

$f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}$

где $\ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)$ – базисные полиномы Лагранжа, связанные с точками $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$.

Распределение имеет Лапласа преобразование

${\mathcal {L}}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}(sI-\Theta )^{-1}\Theta {\boldsymbol {1}}$

С помощью которого можно найти моменты,

$E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.$

Общий случай

В общем случаегде есть $a$ различные суммы экспоненциальных распределенийсо ставками $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}$ и количество терминов в каждомсумма равна $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}$ соответственно. кумулятивныйфункция распределения для $t\geq 0$ дается

$F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},$

с

$\Psi _{k,l}(x)=-{\frac {\partial ^{l-1}}{\partial x^{l-1}}}\left(\prod _{j=0,j\neq k}^{a}\left(\lambda _{j}+x\right)^{-r_{j}}\right).$

с дополнительным соглашением $\lambda _{0}=0,r_{0}=1$.

Использование

Это распределение использовалось в популяционной генетике. клеточная биология, и теория массового обслуживания.

См. также

• Распределение фазового типа
• Коксианское распределение

Дальнейшее чтение

• МФ Нейтс . (1981) Матрично-геометрические решения в стохастических моделях: алгоритмический подход, Глава 2: Распределения вероятностей фазового типа; Dover Publications Inc.
• Ж. Латуш, В. Рамасвами. (1999) Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании, 1-е издание. Глава 2: Распределение PH; АСА СИАМ,
• Колм А. О'Синнеид (1999). Распределение фазового типа: открытые проблемы и некоторые свойства , Коммуникация в статистических и стохастических моделях, 15 (4), 731–757.
• Л. Лимис и Дж. МакКестон (2008). Одномерные отношения распределения , Американский статистик, 62 (1), 45–53.
• С. Росс. (2007) Введение в вероятностные модели, 9-е издание, Нью-Йорк: Academic Press.