Гиперэкспоненциальное распределение

Диаграмма, показывающая систему массового обслуживания, эквивалентную гиперэкспоненциальному распределению

В теории вероятностей гиперэкспоненциальное распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей , функция плотности вероятности случайной величины X определяется выражением

$f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},$

где каждый Y _i представляет собой экспоненциально распределенную случайную величину с параметром скорости λ _i , а p _i представляет собой вероятность того, что X примет форму экспоненциального распределения со скоростью λ _i . Оно называется гиперэкспоненциальным распределением, поскольку его коэффициент вариации больше, чем у экспоненциального распределения, коэффициент вариации которого равен 1, и гипоэкспоненциального распределения , у которого коэффициент вариации меньше единицы. Хотя экспоненциальное распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения , гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения . Гиперэкспоненциальное распределение является примером плотности смеси .

Пример гиперэкспоненциальной случайной величины можно увидеть в контексте телефонии , где, если у кого-то есть модем и телефон, использование его телефонной линии можно смоделировать как гиперэкспоненциальное распределение, где существует вероятность p того, что он разговаривает по телефону с скорость λ ₁ и вероятность q того, что они используют подключение к Интернету со скоростью λ ₂ .

Характеристики

Поскольку ожидаемое значение суммы представляет собой сумму ожидаемых значений, ожидаемое значение гиперэкспоненциальной случайной величины можно представить как

$E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}$

и

$E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},$

откуда мы можем получить дисперсию:

$\operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.$

Стандартное отклонение в целом превышает среднее значение (за исключением вырожденного случая, когда все λ равны), поэтому коэффициент вариации больше 1.

имеет Создающая момент функция вид

$E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.$

Примерка

Заданное распределение вероятностей , включая распределение с тяжелым хвостом , может быть аппроксимировано гиперэкспоненциальным распределением путем рекурсивной подгонки к различным временным масштабам с использованием метода Прони .

См. также

• Распределение фазового типа
• Дистрибутив Гипер-Эрланга
• Распределение Ломакса (непрерывная смесь экспонент)