Составное распределение Пуассона

В теории вероятностей составное распределение Пуассона — это распределение вероятностей суммы ряда независимых одинаково распределенных случайных величин , где количество добавляемых терминов само по себе является переменной , распределенной по Пуассону . Результатом может быть либо непрерывное , либо дискретное распределение .

Определение

Предположим, что

$N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),$

т. е. N — случайная величина , распределение которой представляет собой распределение Пуассона с ожидаемым значением λ, и что

$X_{1},X_{2},X_{3},\dots$

которые являются взаимно независимыми, а также независимыми от N. — это одинаково распределенные случайные величины , Тогда распределение вероятностей суммы $N$ iid случайные переменные

$Y=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$

представляет собой сложное распределение Пуассона.

В случае N = 0 это сумма 0 членов, поэтому значение Y равно 0. Следовательно, условное распределение Y, учитывая, что N = 0, является вырожденным распределением .

Составное распределение Пуассона получается путем маргинализации совместного распределения ( Y , N ) по N , и это совместное распределение может быть получено путем объединения условного распределения Y | N с маргинальным распределением N .

Свойства

Ожидаемое значение и дисперсия сложного распределения могут быть получены простым способом из закона общего ожидания и закона полной дисперсии . Таким образом

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {E} (X)\right]=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),$

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} (Y\mid N)\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} (Y\mid N)\right]=\operatorname {E} \left[N\operatorname {Var} (X)\right]+\operatorname {Var} \left[N\operatorname {E} (X)\right],\\[6pt]&=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\operatorname {Var} (N).\end{aligned}}$

Тогда, поскольку E( N ) = Var( N ), если N распределено по Пуассону, эти формулы можно свести к

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),$

$\operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (N)(\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})=\operatorname {E} (N){\operatorname {E} (X^{2})}.$

Распределение вероятностей Y можно определить с помощью характеристических функций :

$\varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} (e^{itY})=\operatorname {E} \left(\left(\operatorname {E} (e^{itX}\mid N)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,$

и, следовательно, используя производящую вероятность функцию распределения Пуассона, мы имеем

$\varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,$

Альтернативный подход заключается в использовании кумулянтных генерирующих функций :

$K_{Y}(t)=\ln \operatorname {E} [e^{tY}]=\ln \operatorname {E} [\operatorname {E} [e^{tY}\mid N]]=\ln \operatorname {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,$

С помощью закона полной кумулянтности можно показать, что если среднее значение распределения Пуассона λ = 1, то такие же кумулянты Y , моменты X как ₁ .

Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей является пределом составных распределений Пуассона. А составное распределение Пуассона по определению делится безгранично.

Пуассона

Когда $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ являются положительными целочисленными случайными величинами iid с $P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )$, то это составное распределение Пуассона называется дискретным составным распределением Пуассона. (или распределение заикания-Пуассона ) . Мы говорим, что дискретная случайная величина $Y$ удовлетворяющая производящей функции вероятности характеристике

$P_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)$

имеет дискретное составное распределение Пуассона (DCP) с параметрами $(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }$ (где ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$, с ${\textstyle \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$), что обозначается

$X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}},\ldots )$

Более того, если $X\sim {\operatorname {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})$, мы говорим $X$ имеет дискретное составное распределение Пуассона порядка $r$ . Когда $r=1,2$, DCP становится распределением Пуассона и распределением Эрмита соответственно. Когда $r=3,4$, DCP становится тройным распределением Пуассона заикания и четверным распределением Пуассона заикания соответственно. Другие особые случаи включают: сдвиг геометрического распределения , отрицательное биномиальное распределение , геометрическое распределение Пуассона , распределение Неймана типа А , распределение Лурии-Дельбрюка в эксперименте Лурии-Дельбрюка . Более частный случай DCP см. в обзорном документе. и ссылки в нем.

Характеристика Феллера составного распределения Пуассона гласит, что неотрицательное целое число со значением rv $X$ тогда бесконечно делим и только тогда, когда его распределение является дискретным составным распределением Пуассона. Отрицательное биномиальное распределение является дискретным, бесконечно делимым , т. е. если X имеет отрицательное биномиальное распределение, то для любого положительного целого числа n существуют дискретные iid случайные величины X ₁ , ..., X _n, сумма которых имеет то же распределение, что X. и . сдвига Геометрическое распределение представляет собой дискретное составное распределение Пуассона, поскольку оно представляет собой тривиальный случай отрицательного биномиального распределения .

Это распределение может моделировать поступление пакетов (например, в массовой очереди). ). Дискретное составное распределение Пуассона также широко используется в актуарной науке для моделирования распределения общей суммы претензий.

Когда некоторые $\alpha _{k}$ отрицательны, это дискретное псевдосложное распределение Пуассона. Мы определяем, что любая дискретная случайная величина $Y$ удовлетворяющая производящей функции вероятности характеристике

$G_{Y}(z)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)$

имеет дискретное псевдосложное распределение Пуассона с параметрами $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }$ где ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\alpha _{i}}=1}$ и ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{i}}\right|}<\infty }$, с ${\alpha _{i}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0$.

Пуассона

Если X имеет гамма-распределение , частным случаем которого является экспоненциальное распределение , то условное распределение Y | N снова является гамма-распределением. Маргинальное распределение Y представляет собой распределение Твиди. со степенью дисперсии 1 < p < 2 (доказательство путем сравнения характеристической функции (теория вероятностей) ). Чтобы быть более явным, если

$N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),$

и

$X_{i}\sim \operatorname {\Gamma } (\alpha ,\beta )$

iid, затем распределение

$Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

это модель репродуктивной экспоненциальной дисперсии $ED(\mu ,\sigma ^{2})$ с

${\begin{aligned}\operatorname {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatorname {Var} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}$

Сопоставление параметров Параметр Твиди $\mu ,\sigma ^{2},p$ параметрам Пуассона и Гаммы $\lambda ,\alpha ,\beta$ следующее:

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &={\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}$

пуассоновские

Основная статья: Сложный процесс Пуассона

Сложный процесс Пуассона со скоростью $\lambda >0$ а распределение размеров скачков G с непрерывным временем представляет собой стохастический процесс $\{\,Y(t):t\geq 0\,\}$ данный

$Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i},$

где сумма по соглашению равна нулю, пока N ( t ) = 0. Здесь $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ представляет собой процесс Пуассона со скоростью $\lambda$, и $\{\,D_{i}:i\geq 1\,\}$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения G , которые также не зависят от $\{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,$

Дискретную версию составного процесса Пуассона можно использовать при анализе выживаемости моделей хрупкости.

Приложения

Составное распределение Пуассона, в котором слагаемые имеют экспоненциальное распределение , было использовано Ревфеймом для моделирования распределения общего количества осадков за день, где каждый день содержит распределенное по Пуассону количество событий, каждое из которых обеспечивает количество осадков, которое имеет показательное распределение. Томпсон применил ту же модель к общему месячному количеству осадков.

Поступали заявки на страховые выплаты и рентгеновская компьютерная томография .

См. также

• Сложный процесс Пуассона
• Распространение отшельника
• Отрицательное биномиальное распределение
• Геометрическое распределение
• Геометрическое распределение Пуассона
• Гамма-распределение
• Распределение Пуассона
• Модель с нулевым завышением