Модель экспоненциальной дисперсии

В теории вероятности и статистике класс моделей экспоненциальной дисперсии ( EDM ), также называемый семейством экспоненциальной дисперсии ( EDF ), представляет собой набор вероятностных распределений , который представляет собой обобщение естественного экспоненциального семейства . Модели экспоненциальной дисперсии играют важную роль в статистической теории , в частности в обобщенных линейных моделях , поскольку они имеют специальную структуру, которая позволяет делать выводы о соответствующих статистических выводах .

Определение

Одномерный случай

Существует две версии формулировки модели экспоненциальной дисперсии.

Модель аддитивной экспоненциальной дисперсии

В одномерном случае вещественная случайная величина $X$ принадлежит аддитивной модели экспоненциальной дисперсии с каноническим параметром $\theta$ и индексный параметр $\lambda$, $X\sim \mathrm {ED} ^{*}(\theta ,\lambda )$, если его функцию плотности вероятности можно записать как

$f_{X}(x\mid \theta ,\lambda )=h^{*}(\lambda ,x)\exp \left(\theta x-\lambda A(\theta )\right)\,\!.$

Модель репродуктивной экспоненциальной дисперсии

Распределение преобразованной случайной величины $Y={\frac {X}{\lambda }}$ называется моделью репродуктивной экспоненциальной дисперсии , $Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$, и определяется выражением

$f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})=h(\sigma ^{2},y)\exp \left({\frac {\theta y-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\right)\,\!,$

с $\sigma ^{2}={\frac {1}{\lambda }}$ и $\mu =A'(\theta )$, подразумевая $\theta =(A')^{-1}(\mu )$. Модель терминологической дисперсии основана на интерпретации $\sigma ^{2}$ как параметр дисперсии . Для фиксированного параметра $\sigma ^{2}$, $\mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ является натуральным показательным семейством .

Многомерный случай

В многомерном случае n -мерная случайная величина $\mathbf {X}$ имеет функцию плотности вероятности следующего вида

$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,$

где параметр ${\boldsymbol {\theta }}$ имеет ту же размерность, что и $\mathbf {X}$.

Характеристики

Кумулянт-генерирующая функция

Кумулянт -генерирующая функция $Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ дается

$K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,$

с $\theta =(A')^{-1}(\mu )$

Среднее значение и дисперсия

Среднее значение и дисперсия $Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ даны

$\operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,$

с функцией единичной дисперсии $V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))$.

репродуктивный

Если $Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ находятся в контакте с $Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)$, то есть то же самое среднее $\mu$ и разный вес $w_{i}$, средневзвешенное значение снова является $\mathrm {ED}$ с

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,$

с $w_{\bullet }=\sum _{i=1}^{n}w_{i}$. Поэтому $Y_{i}$ называются репродуктивными .

Единичное отклонение

Функция плотности вероятности $\mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})$ также может быть выражено через единичное отклонение $d(y,\mu )$ как

$f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,$

где единичное отклонение принимает специальный вид $d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)$ или с точки зрения функции единичной дисперсии как $d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!{\frac {y-t}{V(t)}}\,dt$.

Примеры

Многие очень распространенные распределения вероятностей относятся к классу EDM, среди них: нормальное распределение , биномиальное распределение , распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение , гамма-распределение , обратное распределение Гаусса и распределение Твиди .