Распределение Кента

В направленной статистике распределение Кента , также известное как 5-параметрическое распределение Фишера-Бингама (названное в честь Джона Т. Кента, Рональда Фишера и Кристофера Бингама ), представляет собой распределение вероятностей на единичной сфере ( 2-сфера S ² в трехмерном пространстве R ³). Это аналог на S ² двумерного нормального распределения с неограниченной ковариационной матрицей . Распределение Кента было предложено Джоном Т. Кентом в 1982 году и используется в геологии, а также в биоинформатике .

Определение

Функция плотности вероятности $f(\mathbf {x} )\,$ распределения Кента определяется следующим образом:

f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }}_{3}^{T}\mathbf {x} )^{2}]\right\}

где $\mathbf {x} \,$ представляет собой трехмерный единичный вектор, $(\cdot )^{T}$ обозначает транспонирование $(\cdot )$ , а нормировочная константа ${\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,$ является:

c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+{\frac {1}{2}}}(\kappa )

Где $I_{v}(\kappa )$ — модифицированная функция Бесселя и $\Gamma (\cdot )$ это гамма-функция . Обратите внимание, что $c(0,0)=4\pi$ и $c(\kappa ,0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )$ , нормировочная константа распределения Фон Мизеса-Фишера .

Параметр $\kappa \,$ (с $\kappa >0\,$ ) определяет концентрацию или распространение распределения, тогда как $\beta \,$ (с $0\leq 2\beta <\kappa$ ) определяет эллиптичность контуров равной вероятности. Чем выше $\kappa \,$ и $\beta \,$ параметров, тем более концентрированным и эллиптическим будет соответственно распределение. Вектор ${\boldsymbol {\gamma }}_{1}\,$ — среднее направление, а векторы ${\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3}\,$ это большая и малая оси. Последние два вектора определяют ориентацию равновероятных контуров на сфере, а первый вектор определяет общий центр контуров. $3\times 3$ матрица $({\boldsymbol {\gamma }}_{1},{\boldsymbol {\gamma }}_{2},{\boldsymbol {\gamma }}_{3})\,$ должно быть ортогональным.

Обобщение на более высокие измерения

Распределение Кента можно легко обобщить на сферы более высоких измерений. Если $x$ это точка на единичной сфере $S^{p-1}$ в $\mathbb {R} ^{p}$ , то функция плотности $p$ -мерное распределение Кента пропорционально

\exp \left\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T}\mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\mathbf {x} )^{2}\right\}\ ,

где $\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0$ и $0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa$ и векторы $\{{\boldsymbol {\gamma }}_{j}\mid j=1,\ldots ,p\}$ являются ортонормированными. Однако с константой нормализации становится очень трудно работать при $p>3$ .

См. также

Ссылки

Бумсма, В., Кент, Дж.Т., Мардия, К.В., Тейлор, К.С. и Хамелрик, Т. (2006) Графические модели и направленная статистика фиксируют структуру белка. Архивировано 7 мая 2021 г. в Wayback Machine . В С. Барбере, П.Д. Бакстере, К.В.Мардиа и Р.Э. Уоллсе (ред.), Междисциплинарная статистика и биоинформатика , стр. 91–94. Лидс, Издательство Университета Лидса.
Хамелрик Т., Кент Дж. Т., Крог А. (2006) Отбор проб реалистичных конформаций белка с использованием локального структурного смещения . PLoS Comput Biol 2 (9): e131
Кент, Дж. Т. (1982) Распределение Фишера – Бингама на сфере. , Дж. Роял. Стат. Соц. , 44:71–80.
Кент, Дж. Т., Хамелрик, Т. (2005). Использование распределения Фишера-Бингама в стохастических моделях структуры белка. Архивировано 7 мая 2021 г. в Wayback Machine . В С. Барбере, П.Д. Бакстере, К.В.Мардиа и Р.Э. Уоллсе (ред.), «Количественная биология, анализ формы и вейвлеты» , стр. 57–60. Лидс, Издательство Университета Лидса.
Мардия, КВМ, Юпп, П.Е. (2000) Статистика направления (2-е издание), John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4
Пил Д., Уайтен У.Дж., Маклахлан Г.Дж. (2001) Подбор смесей распределений Кента для помощи в идентификации совместного набора. Дж. Ам. Стат. Жопа. , 96:56–63