Расширенное отрицательное биномиальное распределение

В теории вероятности и статистике расширенное отрицательное биномиальное распределение представляет собой дискретное распределение вероятностей, расширяющее отрицательное биномиальное распределение . Это усеченная версия отрицательного биномиального распределения. для которых были изучены методы оценки.

В контексте актуарной науки распределение появилось в своей общей форме в статье К. Гесса, А. Ливальда и К. Д. Шмидта. когда они охарактеризовали все распределения, для которых работает расширенная рекурсия Панджера . Для случая m = 1 распределение уже обсуждалось Уиллмотом. и помещены в параметризованное семейство с логарифмическим распределением и отрицательным биномиальным распределением Х.У. Гербера.

Функция массы вероятности

Для натурального числа m ≥ 1 и действительных параметров p , r с 0 < p ≤ 1 и – m < r < – m + 1 функция массы вероятности распределения ExtNegBin( m , r , p ) определяется выражением

$f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ for }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}$

и

$f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{for }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ with }}k\geq m,$

где

${k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)$

— (обобщенный) биномиальный коэффициент , а Γ обозначает гамма-функцию .

Функция, генерирующая вероятность

Используя тот факт, что f ( . ; m , r , ps ) для s ∈ (0, 1] также является функцией массы вероятности, отсюда следует, что производящая функция вероятности задается выражением

${\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}$

В важном случае m = 1 , следовательно, r ∈ (–1, 0) это упрощается до

$\varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.$