Закон полной кумулятивности

Основная статья: накопление

В теории вероятностей и математической статистике закон полной кумулянтности является обобщением на кумулянты закона полной вероятности , закона полного ожидания и закона полной дисперсии . Он имеет применение при анализе временных рядов . Его представил Дэвид Бриллинджер .

В наиболее общей форме он наиболее очевиден для совместных кумулянтов, а не для кумулянтов определенного порядка только для одной случайной величины . В общем, у нас есть

$\kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{i}:i\in B\mid Y):B\in \pi ),$

где

• κ ( X ₁ , ..., X _n ) является совместным кумулянтом n случайных величин X ₁ , ..., X _n , и
• сумма рассчитана по всем разделам $\pi$ набора { 1, ..., n } индексов и
• " € В π ;" означает, что B пробегает весь список «блоков» раздела π и
• κ ( X _i : i ∈ B | Y ) является условным кумулянтом, заданным значением случайной величины Y . это сама по себе случайная величина — функция случайной величины Y. Следовательно ,

Примеры

Особый случай всего одной случайной величины и n = 2 или 3.

Только в случае n = 2 или 3 n- й кумулянт совпадает с n- м центральным моментом . Случай n = 2 хорошо известен (см. закон полной дисперсии ). Ниже рассмотрен случай n = 3. Обозначение µ ₃ означает третий центральный момент.

$\mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).$

Общие совместные кумулянты 4-го порядка

Для общих кумулянтов 4-го порядка правило дает сумму из 15 членов следующим образом:

${\begin{aligned}&\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})\\[5pt]={}&\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}3+1{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+2{\text{ form}})\\[5pt]&\left.{\begin{matrix}&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{1},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{3}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{2},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y))\\[5pt]&{}+\kappa (\kappa (X_{3},X_{4}\mid Y),\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y))\end{matrix}}\right\}({\text{partitions of the }}2+1+1{\text{ form}})\\[5pt]&{\begin{matrix}{}+\kappa (\kappa (X_{1}\mid Y),\kappa (X_{2}\mid Y),\kappa (X_{3}\mid Y),\kappa (X_{4}\mid Y)).\end{matrix}}\end{aligned}}$

Кумулянты составных пуассоновских случайных величин

Предположим, что имеет распределение Пуассона с ожидаемым значением   λ , а X — это сумма Y копий W , независимых друг от друга и от Y. Y

$X=\sum _{y=1}^{Y}W_{y}.$

Все кумулянты распределения Пуассона равны друг другу и поэтому в данном случае равны λ . что если случайные величины W1 _{Также напомним ,} ,..., , _й то Wm независимы n - кумулянт аддитивен:

$\kappa _{n}(W_{1}+\cdots +W_{m})=\kappa _{n}(W_{1})+\cdots +\kappa _{n}(W_{m}).$

Найдём четвёртый X. кумулянт У нас есть:

${\begin{aligned}\kappa _{4}(X)={}&\kappa (X,X,X,X)\\[8pt]={}&\kappa _{1}(\kappa _{4}(X\mid Y))+4\kappa (\kappa _{3}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+3\kappa _{2}(\kappa _{2}(X\mid Y))\\&{}+6\kappa (\kappa _{2}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y),\kappa _{1}(X\mid Y))+\kappa _{4}(\kappa _{1}(X\mid Y))\\[8pt]={}&\kappa _{1}(Y\kappa _{4}(W))+4\kappa (Y\kappa _{3}(W),Y\kappa _{1}(W))+3\kappa _{2}(Y\kappa _{2}(W))\\&{}+6\kappa (Y\kappa _{2}(W),Y\kappa _{1}(W),Y\kappa _{1}(W))+\kappa _{4}(Y\kappa _{1}(W))\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\kappa _{1}(Y)+4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\kappa _{2}(Y)+3\kappa _{2}(W)^{2}\kappa _{2}(Y)\\&{}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\kappa _{3}(Y)+\kappa _{1}(W)^{4}\kappa _{4}(Y)\\[8pt]={}&\kappa _{4}(W)\lambda +4\kappa _{3}(W)\kappa _{1}(W)\lambda +3\kappa _{2}(W)^{2}+6\kappa _{2}(W)\kappa _{1}(W)^{2}\lambda +\kappa _{1}(W)^{4}\lambda \\[8pt]={}&\lambda \operatorname {E} (W^{4})\qquad {\text{(the punch line -- see the explanation below).}}\end{aligned}}$

Последнюю сумму мы узнаем как сумму по всем разбиениям множества { 1, 2, 3, 4 }, произведения по всем блокам разбиения, кумулянтов W порядка, равного размеру блока. Это как раз четвертый необработанный момент W см . ( в кумулянте более неторопливое обсуждение этого факта ). Следовательно, кумулянты X — это моменты W, умноженные на λ .

Таким образом, мы видим, что каждая моментная последовательность также является кумулянтной последовательностью (обратное не может быть верным, поскольку кумулянты четного порядка ≥ 4 в некоторых случаях отрицательны, а также потому, что кумулянтная последовательность нормального распределения не является моментной последовательностью любое распределение вероятностей).

Обусловливание случайной величиной Бернулли

Предположим, Y = 1 с вероятностью p и Y = 0 с вероятностью q = 1 − p . Предположим, что условное распределение вероятностей X при условии Y равно F , если Y = 1, и G, если Y = 0. Тогда мы имеем

$\kappa _{n}(X)=p\kappa _{n}(F)+q\kappa _{n}(G)+\sum _{\pi <{\widehat {1}}}\kappa _{\left|\pi \right|}(Y)\prod _{B\in \pi }(\kappa _{\left|B\right|}(F)-\kappa _{\left|B\right|}(G))$

где $\pi <{\widehat {1}}$ означает, что π — это раздел множества { 1, ..., n }, который тоньше, чем самый грубый раздел — сумма рассчитана по всем разделам, кроме этого. Например, если n = 3, то имеем

$\kappa _{3}(X)=p\kappa _{3}(F)+q\kappa _{3}(G)+3pq(\kappa _{2}(F)-\kappa _{2}(G))(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))+pq(q-p)(\kappa _{1}(F)-\kappa _{1}(G))^{3}.$