Гиперболическое распределение

гиперболический

Параметры	$\mu$ местоположение ( реальное ) $\alpha$ (настоящий) $\beta$ параметр асимметрии (действительный) $\delta$ параметр масштаба (действительный) $\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}$ $K_{\lambda }$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода
Иметь в виду	$\mu +{\frac {\delta \beta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}$
Режим	$\mu +{\frac {\delta \beta }{\gamma }}$
Дисперсия	${\frac {\delta K_{2}(\delta \gamma )}{\gamma K_{1}(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{3}(\delta \gamma )}{K_{1}(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{2}^{2}(\delta \gamma )}{K_{1}^{2}(\delta \gamma )}}\right)$
МГФ	${\frac {e^{\mu z}\gamma K_{1}(\delta {\sqrt {(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})}})}{{\sqrt {(\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2})}}K_{1}(\delta \gamma )}}$

Гиперболическое распределение — это непрерывное распределение вероятностей, характеризующееся тем, что логарифм функции плотности вероятности является гиперболой . Таким образом, распределение убывает экспоненциально, что происходит медленнее, чем нормальное распределение . Поэтому подходит для моделирования явлений, в которых численно большие значения более вероятны, чем в случае нормального распределения. Примерами являются доходы от финансовых активов и турбулентные скорости ветра. Гиперболические распределения образуют подкласс обобщенных гиперболических распределений .

Происхождением распределения является наблюдение Ральфа Бэгнольда , опубликованное в его книге «Физика выдуваемого песка и пустынных дюн » (1941), о том, что логарифм гистограммы эмпирического распределения песчаных отложений по размерам имеет тенденцию образовывать гиперболу. Это наблюдение было математически формализовано Оле Барндорфом-Нильсеном в статье 1977 года: где он также ввел обобщенное гиперболическое распределение , используя тот факт, что гиперболическое распределение представляет собой случайную смесь нормальных распределений.