Лямбда-распределение Уилкса

В статистике , лямбда-распределение Уилкса (названное в честь Сэмюэля С. Уилкса ) — это распределение вероятностей используемое при проверке многомерных гипотез , особенно в отношении теста отношения правдоподобия и многомерного дисперсионного анализа (MANOVA).

Определение

Лямбда-распределение Уилкса определяется на основе двух независимых Уишарта распределенных переменных как распределение отношений их определителей : ^{[ 1 ]}

данный

\mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)

независимым и с $m\geq p$

\lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)

где p — количество измерений. В контексте тестов отношения правдоподобия m обычно является степенями свободы ошибки, а n — степенями свободы гипотезы, так что $n+m$ это полные степени свободы. ^{[ 1 ]}

Приближения

Расчеты или таблицы распределения Уилкса для более высоких размерностей недоступны, и обычно прибегают к приближениям. Одно приближение приписывается М.С. Бартлетту и работает для больших m. ^{[ 2 ]} позволяет аппроксимировать лямбду Уилкса распределением хи-квадрат

\left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.

^{[ 1 ]}

Другое приближение приписывается Ч.Р. Рао . ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

Характеристики

Между параметрами распределения Уилкса существует симметрия: ^{[ 1 ]}

\Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)

Связанные дистрибутивы

Распределение может быть связано с произведением независимых бета-распределенных случайных величин.

u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)

\prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).

По существу, его можно рассматривать как многомерное обобщение бета-распределения.

Отсюда непосредственно следует, что для одномерной задачи, когда распределения Уишарта одномерны с $p=1$ (т. е. с распределением хи-квадрат), то распределение Уилкса равно бета-распределению с определенным набором параметров,

\Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).

Из отношений между бета- распределением и F-распределением лямбда Уилкса может быть связана с F-распределением, когда один из параметров лямбда-распределения Уилкса равен 1 или 2, например: ^{[ 1 ]}

{\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},

и

{\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Канти Мардия , Джон Т. Кент и Джон Бибби (1979). Многомерный анализ . Академическая пресса. ISBN 0-12-471250-9 .
^ М. С. Бартлетт (1954). «Заметка о повышающих коэффициентах для различных $\chi ^{2}$ Приближения». JR Stat Soc Ser B. 16 ( 2): 296–298. JSTOR 2984057 .
^ Ч.Р. Рао (1951). «Асимптотическое расширение распределения критерия Уилкса». Бюллетень Международного института статистики . 33 : 177–180.

[MKB-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Канти Мардия , Джон Т. Кент и Джон Бибби (1979). Многомерный анализ . Академическая пресса. ISBN 0-12-471250-9 .

[2] М. С. Бартлетт (1954). «Заметка о повышающих коэффициентах для различных $\chi ^{2}$ Приближения». JR Stat Soc Ser B. 16 ( 2): 296–298. JSTOR 2984057 .

[3] Ч.Р. Рао (1951). «Асимптотическое расширение распределения критерия Уилкса». Бюллетень Международного института статистики . 33 : 177–180.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]