Кендаллс W

Кендалла W (также известный как коэффициент согласия Кендалла ) — это непараметрическая статистика ранговой корреляции . Это нормализация статистики теста Фридмана , и ее можно использовать для оценки согласия между оценщиками и, в частности, надежности между оценщиками . Кендалла W варьируется от 0 (нет согласия) до 1 (полное согласие).

Предположим, например, что нескольких человек попросили ранжировать список политических проблем от наиболее важных до наименее важных. Кендалла W На основе этих данных можно рассчитать . Если статистика теста W равна 1, то все респонденты опроса были единодушны, и каждый респондент присвоил один и тот же порядок списка проблем. Если W равно 0, то среди респондентов нет общей тенденции к согласию, и их ответы можно считать по существу случайными. Промежуточные значения W указывают на большую или меньшую степень единодушия среди различных ответов.

В то время как тесты, использующие стандартный коэффициент корреляции Пирсона, предполагают нормально распределенные Кендалла значения и сравнивают две последовательности результатов одновременно, W не делает предположений относительно природы распределения вероятностей и может обрабатывать любое количество различных результатов.

Шаги Кендалла W

Предположим, что объекту i присвоен рейтинг r _i,j по номеру судьи j , где всего имеется n объектов и m судей. Тогда общий ранг, присвоенный объекту i, равен

$R_{i}=\sum _{j=1}^{m}r_{i,j},$

и среднее значение этих общих рангов равно

${\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}.$

Сумма квадратов отклонений S определяется как

$S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2},$

Кендалла и тогда W определяется как

$W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}.$

Если статистика теста W равна 1, то все судьи или респонденты опроса были единодушны, и каждый судья или респондент присвоил один и тот же порядок списку объектов или проблем. Если W равно 0, то среди респондентов нет общей тенденции к согласию, и их ответы можно считать по существу случайными. Промежуточные значения W указывают на большую или меньшую степень единодушия среди различных судей или респондентов.

Кендалл и Гиббонс (1990) также показывают, что W линейно связано со средним значением коэффициентов ранговой корреляции Спирмена между всеми $m \choose {2}$ возможные пары рейтингов между судьями

${\bar {r}}_{s}={\frac {mW-1}{m-1}}$

Неполные блоки

Когда судьи оценивают только некоторое подмножество из n объектов и когда соответствующий дизайн блока представляет собой (n, m, r, p, λ)-дизайн (обратите внимание на разные обозначения) . Другими словами, когда

1. каждый судья ранжирует одинаковое количество p объектов по некоторым $p<n$,
2. каждый объект ранжируется одинаковое общее количество раз ,
3. и каждая пара объектов предъявляется вместе какому-то судье ровно λ раз, $\lambda \geq 1$, константа для всех пар.

Кендалла Тогда W определяется как

$W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3r^{2}n\left(p+1\right)^{2}}{\lambda ^{2}n(n^{2}-1)}}.$

Если $p=n$ и $\lambda =r=m$ так что каждый судья ранжирует все n объектов, приведенная выше формула эквивалентна исходной.

Поправка на ничьи

При возникновении связанных значений каждому из них присваивается среднее значение рангов, которые были бы присвоены, если бы не возникло никаких связей. Например, набор данных {80,76,34,80,73,80} имеет значения 80, соответствующие 4-му, 5-му и 6-му местам; поскольку среднее значение {4,5,6} = 5, ранги будут присвоены значениям необработанных данных следующим образом: {5,3,1,5,2,5}.

Эффект связей заключается в уменьшении значения W ; однако этот эффект невелик, если нет большого количества связей. Чтобы скорректировать связи, присвойте ранги связанным значениям, как указано выше, и вычислите поправочные коэффициенты.

$T_{j}=\sum _{i=1}^{g_{j}}(t_{i}^{3}-t_{i}),$

где t _i — количество связанных рангов в i- й группе связанных рангов (где группа — это набор значений, имеющих постоянный (связанный) ранг), а g _j — количество групп связей в наборе рангов (в диапазоне от 1 до n ) для судьи j . Таким образом, T _j является поправочным коэффициентом, необходимым для набора рангов судьи j , т.е. j -го набора рангов. нет равных рангов Обратите внимание, что если у судьи j , T _j равно 0.

С поправкой на связи формула для W принимает вид

$W={\frac {12\sum _{i=1}^{n}(R_{i}^{2})-3m^{2}n(n+1)^{2}}{m^{2}n(n^{2}-1)-m\sum _{j=1}^{m}(T_{j})}},$

где R _i — сумма рангов объекта i , и $\sum _{j=1}^{m}(T_{j})$ представляет собой сумму значений T _j по всем m наборам рангов.

Шаги взвешенной W Кендалла

В некоторых случаях важность оценщиков (экспертов) может отличаться друг от друга. В этом случае взвешенную W Кендалла . следует использовать Предположим, что объект $i$ присвоено звание $r_{ij}$ по номеру судьи $j$, где всего $n$ объекты и $m$ судьи. Также вес судьи $j$ показано $\vartheta _{j}$ (в реальной ситуации важность каждого оценщика может быть разной). Действительно, вес судей $\vartheta _{j}(j=1,2,...,m)$. Тогда общий ранг, присвоенный объекту $i$ является

$R_{i}=\sum _{j=1}^{m}\vartheta _{j}r_{ij}$

и среднее значение этих общих рангов равно:

${\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}$

Сумма квадратов отклонений, $S$, определяется как,

$S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2}$

и тогда Кендалла взвешенный W определяется как:

$W_{w}={\frac {12S}{(n^{3}-n)}}$

Приведенная выше формула подходит, когда у нас нет ничьего ранга.

Поправка на ничьи

В случае ничьего ранга нам необходимо учесть его в приведенной выше формуле. Чтобы скорректировать связи, мы должны вычислить поправочные коэффициенты:

$T_{j}=\sum _{i=1}^{n}(t_{ij}^{3}-t_{ij})\;\;\;\;\;\;\;\forall j$

где $t_{ij}$ представляет количество равных рангов в судействе $j$ для объекта $i$. $T_{j}$ показывает общее количество ничьих в судействе $j$. С поправкой на ничьи формула для Кендалла взвешенного W принимает вид:

$W_{w}={\frac {12S}{(n^{3}-n)-\sum _{j=1}^{m}\vartheta _{j}T_{j}}}$

Если веса оценщиков равны (распределение весов равномерно), значения Кендалла взвешенного W и Кендалла W равны.

Тесты значимости

В случае полных рангов обычно используемый тест значимости для W против нулевой гипотезы о несогласии (т. е. случайных рангов) предложен Кендаллом и Гиббонсом (1990).

$\chi ^{2}=m(n-1)W$

Где тестовая статистика принимает распределение хи-квадрат с $df=n-1$ степени свободы.

В случае неполного рейтинга (см. выше) это становится

$\chi ^{2}={\frac {\lambda (n^{2}-1)}{k+1}}W$

Где опять же есть $df=n-1$ степени свободы.

Лежандр сравнили посредством моделирования мощность подходов к тестированию хи-квадрат и перестановок Кендалла для определения значимости W . Результаты показали, что метод хи-квадрат был чрезмерно консервативным по сравнению с критерием перестановки, когда $m<20$. Мароцци расширили это, также рассмотрев F- критерий, как было предложено в оригинальной публикации представляющей W- Кендалла и Бабингтона Смита (1939), статистику:

$F={\frac {W(m-1)}{1-W}}$

Если статистика теста соответствует распределению F с $v_{1}=n-1-(2/m)$ и $v_{2}=(m-1)v_{1}$ степени свободы. Мароцци обнаружил, что F- тест работает примерно так же хорошо, как метод перестановочного теста, и может быть предпочтительнее, чем когда $m$ невелик, так как он проще в вычислительном отношении.

Программное обеспечение

W Кендалла и взвешенный W Кендалла реализованы в MATLAB , СПСС , Р , и другие пакеты статистического программного обеспечения.

См. также

• Морис Кендалл
• тау Кендалла
• Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
• тест Фридмана

Ссылки

• Кендалл, Миннесота; Бабингтон Смит, Б. (сентябрь 1939 г.). «Проблема m рейтингов» . Анналы математической статистики . 10 (3): 275–287. дои : 10.1214/aoms/1177732186 . JSTOR   2235668 .
• Кендалл, М.Г., и Гиббонс, Джей.Д. (1990). Методы ранговой корреляции. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
• Кордер, Г.В., Форман, Д.И. (2009). Непараметрическая статистика для нестатистиков: пошаговый подход Wiley, ISBN   978-0-470-45461-9
• Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов , OUP. ISBN   0-19-920613-9
• Лежандр, П. (2005) Ассоциации видов: пересмотр коэффициента согласия Кендалла. Журнал сельскохозяйственной, биологической и экологической статистики , 10 (2), 226–245. [1]
• Сигел, Сидни; Кастеллан, Н. Джон мл. (1988). Непараметрическая статистика для поведенческих наук (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 266. ИСБН  978-0-07-057357-4 .
• Гиббонс, Джин Дикинсон; Чакраборти, Субхабрата (2003). Непараметрический статистический вывод (4-е изд.). Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 476–482. ISBN  978-0-8247-4052-8 .