Подчиненный (математика)

В теории вероятностей субординатор — это случайный процесс , который неотрицательен и приращения которого стационарны и независимы . Подчинители — это особый класс процессов Леви , которые играют важную роль в теории местного времени . В этом контексте подчиненные описывают эволюцию времени в рамках другого случайного процесса, подчиненного стохастического процесса. Другими словами, подчиненный будет определять случайное количество «временных шагов», которые происходят в подчиненном процессе за данную единицу хронологического времени.

Чтобы быть подчиненным, процесс должен быть процессом Леви. Оно также должно увеличиваться, почти наверняка , или аддитивный процесс .

Определение

Подчиненный — это действительный случайный процесс. $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ это неотрицательный Леви процесс . Подчиненные – это случайные процессы $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ которые обладают всеми следующими свойствами:

• $X_{0}=0$ почти наверняка
• $X$ неотрицательно, то есть $X_{t}\geq 0$ для всех $t$
• $X$ имеет стационарные приращения , что означает, что для $t\geq 0$ и $h>0$, распределение случайной величины $Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}$ зависит только от $h$ и не на $t$
• $X$ имеет независимые приращения , что означает, что для всех $n$ и все $t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}$ , случайные величины $(Y_{i})_{i=0,\dots ,n-1}$ определяется $Y_{i}=X_{t_{i+1}}-X_{t_{i}}$ независимы друг от друга
• Пути $X$ являются càdlàg , что означает, что они непрерывны справа везде, а пределы слева существуют везде.

Примеры

Дисперсионный гамма-процесс можно описать как броуновское движение, подчиненное гамма-субординатору . Если броуновское движение , $W(t)$, с дрейфом $\theta t$ подвергается случайному изменению времени, которое следует за гамма-процессом , $\Gamma (t;1,\nu )$, будет следовать гамма-процесс дисперсии:

$X^{VG}(t;\sigma ,\nu ,\theta )\;:=\;\theta \,\Gamma (t;1,\nu )+\sigma \,W(\Gamma (t;1,\nu )).$

Процесс Коши можно описать как броуновское движение, подчиняющееся субординатору Леви .

Представительство

Каждый подчиненный $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ можно записать как

$X_{t}=at+\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }x\;\Theta (\mathrm {d} s\;\mathrm {d} x)$

где

• $a\geq 0$ является скаляром и
• $\Theta$ представляет собой Пуассона процесс $(0,\infty )\times (0,\infty )$ с мерой интенсивности $\operatorname {E} \Theta =\lambda \otimes \mu$. Здесь $\mu$ это мера по $(0,\infty )$ с $\int _{0}^{\infty }\max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty$, и $\lambda$ есть мера Лебега .

Мера $\mu$ называется мерой Леви субординатора, а пара $(a,\mu )$ называется характеристикой подчиненного.

И наоборот, любой скаляр $a\geq 0$ и измерить $\mu$ на $(0,\infty )$ с $\int \max(x,1)\;\mu (\mathrm {d} x)<\infty$ определить подчиненного с характеристиками $(a,\mu )$ по вышеуказанному соотношению.