Независимые приращения

В вероятностей теории независимые приращения являются свойством случайных процессов и случайных мер . В большинстве случаев процесс или случайная мера по определению имеют независимые приращения, что подчеркивает их важность. Некоторые из случайных процессов, которые по определению обладают независимыми приращениями, — это процесс Винера , все процессы Леви , все аддитивные процессы. и точечный процесс Пуассона .

Определение

Позволять $(X_{t})_{t\in T}$ быть случайным процессом . В большинстве случаев $T=\mathbb {N}$ или $T=\mathbb {R} ^{+}$. Тогда случайный процесс имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда для каждого $m\in \mathbb {N}$ и любой выбор $t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{m-1},t_{m}\in T$ с

$t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}$

случайные величины

$(X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),(X_{t_{2}}-X_{t_{1}}),\dots ,(X_{t_{m}}-X_{t_{m-1}})$

независимы стохастически .

Определение случайных мер

мера Случайная $\xi$ имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда случайные величины $\xi (B_{1}),\xi (B_{2}),\dots ,\xi (B_{m})$ для стохастически независимы любого выбора попарно непересекающихся измеримых множеств $B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}$ и каждый $m\in \mathbb {N}$.

Независимые S-приращения

Позволять $\xi$ быть случайной мерой $S\times T$ и определим для каждого ограниченного измеримого множества $B$ случайная мера $\xi _{B}$ на $T$ как

$\xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )$

Затем $\xi$ называется случайной мерой с независимыми S-приращениями , если для всех ограниченных множеств $B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}$ и все $n\in \mathbb {N}$ случайные меры $\xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\dots ,\xi _{B_{n}}$ независимы.

Приложение

Независимые приращения являются основным свойством многих случайных процессов и часто включаются в их определение. Понятие независимых приращений и независимых S-приращений случайных мер играет важную роль в характеристике точечного процесса Пуассона и бесконечной делимости.