Процесс Леви

В теории вероятностей процесс Леви , названный в честь французского математика Поля Леви , представляет собой случайный процесс с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные смещения которой случайны , при котором смещения в попарно непересекающиеся промежутки времени независимы, а смещения в разные интервалы времени одинаковой длины имеют одинаковые распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как аналог случайного блуждания в непрерывном времени .

Наиболее известными примерами процессов Леви являются процесс Винера , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают процесс Гамма , процесс Паскаля и процесс Мейкснера. Помимо броуновского движения со сносом, все остальные собственные (т. е. не детерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными процессами . ^{[ 1 ]}

Математическое определение

Процесс Леви — это случайный процесс. $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ который удовлетворяет следующим свойствам:

$X_{0}=0\,$ почти наверняка ;
Независимость приращений : Для любого $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty$ , $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ взаимно независимы ;
Стационарные приращения : Для любого $s<t\,$ , $X_{t}-X_{s}\,$ равно по распределению $X_{t-s};\,$
Непрерывность вероятности : для любого $\varepsilon >0$ и $t\geq 0$ он утверждает, что $\lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.$

Если $X$ является процессом Леви, то можно версию построить $X$ такой, что $t\mapsto X_{t}$ почти наверняка непрерывен справа с левыми пределами .

Характеристики

Независимые приращения

Случайный процесс с непрерывным временем присваивает случайную величину X _t каждой точке t ≥ 0 во времени. По сути, это случайная функция t . Приращениями s такого процесса являются разности X _s − X _t между его значениями в разные моменты t < времени . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X _s - X _t и X _u - X _v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, присвоенных попарно непересекающимся временные интервалы взаимно (а не только попарно ) независимы.

Стационарные приращения

Назвать приращения стационарными означает, что распределение вероятностей любого приращения X _t − X _s зависит только от длины t − s временного интервала; приращения на одинаково длинных интервалах времени распределяются одинаково.

Если $X$ является винеровским процессом , распределение вероятностей X _t − X _s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t − s .

Если $X$ — это процесс Пуассона , распределение вероятностей X _t — X _s — это распределение Пуассона с ожидаемым значением λ( t — s ), где λ > 0 — «интенсивность» или «скорость» процесса.

Если $X$ является процессом Коши , распределение вероятностей X _t − X _s является распределением Коши с плотностью $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ .

Бесконечная делимость

Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : для любого целого числа n закон процесса Леви в момент времени t можно представить как закон суммы n независимых случайных величин, которые в точности являются приращениями процесса Леви. процесс на интервалах времени длины t / n, которые независимы и одинаково распределены по предположениям 2 и 3. Обратно, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей $F$ , существует процесс Леви $X$ такой, что закон $X_{1}$ дается $F$ .

Моменты

В любом процессе Леви с конечными моментами момент n- й $\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$ , является полиномиальной функцией t ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству :

\mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).

Представление Леви – Хинчина

Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви–Хинчина (общей для всех бесконечно делимых распределений ): ^{[ 2 ]}

Если $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ является процессом Леви, то его характеристическая функция $\varphi _{X}(\theta )$ дается
$\varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}$

где $a\in \mathbb {R}$ , $\sigma \geq 0$ , и $\Pi$ является $σ$ -конечной мерой, называемой Леви мерой $X$ , удовлетворяющий свойству

$\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .$

В приведенном выше $\mathbf {1}$ – индикаторная функция . Поскольку характеристические функции однозначно определяют лежащие в их основе распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «тройкой Леви – Хинчина». $(a,\sigma ^{2},\Pi )$ . Члены этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви, как описано ниже. Это немедленно дает понять, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви представляет собой броуновское движение со сносом; аналогично, каждый процесс Леви является семимартингалом . ^{[ 3 ]}

Разложение Леви – Ито

Поскольку характеристические функции независимых случайных величин умножаются, теорема Леви – Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви представляет собой сумму броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины, процесса скачка Леви. Разложение Леви – Ито описывает последнее как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.

Позволять $\nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}$ - то есть ограничение $\Pi$ к $\mathbb {R} \setminus (-1,1)$ , перенормированный в вероятностную меру; аналогично, пусть $\mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}$ (но не масштабируйте). Затем

\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.

Первое является характеристической функцией сложного пуассоновского процесса с интенсивностью $\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))$ и распределение детей $\nu$ . Последний представляет собой компенсированный обобщенный пуассоновский процесс (CGPP): процесс со счетным числом скачкообразных разрывов на каждом интервале как , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше $1$ . Если $\int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty$ , то CGPP представляет собой чистый переходный процесс . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Поэтому с точки зрения процессов можно разложить $X$ следующим образом

X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,

где $Y$ представляет собой составной процесс Пуассона со скачками, превышающими $1$ по абсолютной величине и $Z_{t}$ – это вышеупомянутый компенсированный обобщенный процесс Пуассона, который также является мартингалом с нулевым средним.

Обобщение

Леви Случайное поле — это многомерное обобщение процесса Леви. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Еще более общими являются разложимые процессы. ^{[ 8 ]}

См. также

Ссылки

^ Сато, Кен-Ити (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. стр. 31–68. ISBN 9780521553025 .
^ Золотарев, Владимир М. Одномерные устойчивые распределения. Том. 65. Американская математическая общество, 1986.
^ Проттер П.Е. Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Спрингер, 2005.
^ Киприану, Андреас Э. (2014), «Разложение Леви – Ито и структура путей», Флуктуации процессов Леви с приложениями , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–69, doi : 10.1007/978-3-642-37632 -0_2 , ISBN 9783642376313
^ Лоулер, Грегори (2014). «Стохастическое исчисление: введение с приложениями» (PDF) . Кафедра математики (Чикагский университет) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 года . Проверено 3 октября 2018 г.
^ Вулперт, Роберт Л.; Икштадт, Катя (1998), «Моделирование случайных полей Леви», Практическая непараметрическая и полупараметрическая байесовская статистика , Конспекты лекций по статистике, Спрингер, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9
^ Вулперт, Роберт Л. (2016). «Случайные поля Леви» (PDF) . Департамент статистических наук (Университет Дьюка) .
^ Фельдман, Джейкоб (1971). «Разложимые процессы и непрерывные произведения вероятностных пространств». Журнал функционального анализа . 8 (1): 1–51. дои : 10.1016/0022-1236(71)90017-6 . ISSN 0022-1236 .

Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви — от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477 .
Продолжение, Рама; Танков, Петр (2003). Финансовое моделирование со скачкообразными процессами . ЦРК Пресс. ISBN 978-1584884132 . .
Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025 . .
Киприану, Андреас Э. (2014). Флуктуации процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Второе издание . Спрингер. ISBN 978-3642376313 . .

[1] Сато, Кен-Ити (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. стр. 31–68. ISBN 9780521553025 .

[2] Золотарев, Владимир М. Одномерные устойчивые распределения. Том. 65. Американская математическая общество, 1986.

[3] Проттер П.Е. Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Спрингер, 2005.

[4] Киприану, Андреас Э. (2014), «Разложение Леви – Ито и структура путей», Флуктуации процессов Леви с приложениями , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–69, doi : 10.1007/978-3-642-37632 -0_2 , ISBN 9783642376313

[5] Лоулер, Грегори (2014). «Стохастическое исчисление: введение с приложениями» (PDF) . Кафедра математики (Чикагский университет) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 года . Проверено 3 октября 2018 г.

[6] Вулперт, Роберт Л.; Икштадт, Катя (1998), «Моделирование случайных полей Леви», Практическая непараметрическая и полупараметрическая байесовская статистика , Конспекты лекций по статистике, Спрингер, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4612-1732-9_12 , ISBN 978-1-4612-1732-9

[7] Вулперт, Роберт Л. (2016). «Случайные поля Леви» (PDF) . Департамент статистических наук (Университет Дьюка) .

[8] Фельдман, Джейкоб (1971). «Разложимые процессы и непрерывные произведения вероятностных пространств». Журнал функционального анализа . 8 (1): 1–51. дои : 10.1016/0022-1236(71)90017-6 . ISSN 0022-1236 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Ито Спред Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Каталог путей Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля и единицы ( Блюменталь , Борель-Кантелли , Энгельберт-Шмидт , Хьюитт-Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Его интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохора Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теория представлений Скорохода Skorokhod space Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Stratonovich integral Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория