Максимальная эргодическая теорема

Максимальная эргодическая теорема — теорема эргодической теории , раздела математики .

Предположим, что $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ это вероятностное пространство , которое $T:X\to X$ является (возможно, необратимым) преобразованием, сохраняющим меру , и что $f\in L^{1}(\mu ,\mathbb {R} )$. Определять $f^{*}$ к

$f^{*}=\sup _{N\geq 1}{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^{i}.$

Тогда максимальная эргодическая теорема утверждает, что

$\int _{f^{*}>\lambda }f\,d\mu \geq \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}$

для любого λ ∈ R .

Эта теорема используется для доказательства поточечной эргодической теоремы .

Ссылки

• Кин, Майкл; Петерсен, Карл (2006), «Простые и почти одновременные доказательства эргодической теоремы и максимальной эргодической теоремы», Динамика и стохастика , Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий, том. 48, стр. 248–251, arXiv : math/0004070 , doi : 10.1214/074921706000000266 , ISBN  0-940600-64-1 .