Теория руин

«Теория риска» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о другом использовании, см. «План Тирпица» .

В актуарной науке и прикладной теории вероятности теория разрушения (иногда теория риска) или теория коллективного риска ) использует математические модели для описания уязвимости страховщика к неплатежеспособности/краху. В таких моделях ключевыми величинами, представляющими интерес, являются вероятность краха, распределение излишка непосредственно перед крахом и дефицита во время краха.

Классическая модель

Пример пути сложного процесса пуассоновского риска

Теоретическая основа теории разорения, известная как модель Крамера – Лундберга (или классическая модель сложного риска Пуассона, классический процесс риска или процесс риска Пуассона) был введен в 1903 году шведским актуарием Филипом Лундбергом . Работа Лундберга была переиздана в 1930-х годах Харальдом Крамером .

Модель описывает страховую компанию, которая испытывает два противоположных денежных потока: входящие денежные премии и исходящие претензии. Премии приходят по постоянной ставке ${\textstyle c>0}$ от клиентов и претензии поступают по процессу Пуассона $N_{t}$ с интенсивностью ${\textstyle \lambda }$ и являются независимыми и одинаково распределенными неотрицательными случайными величинами. $\xi _{i}$ с раздачей ${\textstyle F}$ и имею в виду ${\textstyle \mu }$ (они образуют сложный процесс Пуассона ). Итак, для страховщика, который начинает с первоначального излишка ${\textstyle x}$, совокупные активы $X_{t}$ даны:

$X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.$

Основной целью модели является исследование вероятности того, что уровень профицита страховщика в конечном итоге упадет ниже нуля (что приведет к банкротству фирмы). Эта величина, называемая вероятностью окончательного разорения, определяется как

$\psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$,

где время разрушения $\tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}$ с соглашением, что $\inf \varnothing =\infty$. Это можно точно вычислить по формуле Поллачека – Хинчина как (функция разрушения здесь эквивалентна хвостовой функции стационарного распределения времени ожидания в очереди M/G/1 )

$\psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))$

где $F_{l}$ является преобразованием хвостового распределения $F$,

$F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u$

и $\cdot ^{\ast n}$ обозначает $n$-кратная свертка .В случае, когда размеры претензий распределены экспоненциально, это упрощается до

$\psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.$

Модель Спарра Андерсена

Э. Спарре Андерсен расширил классическую модель в 1957 г. позволяя времени между поступлениями заявок иметь произвольные функции распределения.

$X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,$

где процесс номера претензии $(N_{t})_{t\geq 0}$ представляет собой процесс обновления и $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Кроме того, модель предполагает, что $\xi _{i}>0$ почти наверняка и это $(N_{t})_{t\geq 0}$ и $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ независимы. Эта модель также известна как модель риска обновления.

Ожидаемая функция дисконтированного штрафа

Майкл Р. Пауэрс и Гербер и Шиу проанализировали поведение излишка страховщика через функцию ожидаемого дисконтированного штрафа , которую в литературе по руинам обычно называют функцией Гербера-Шиу и называют в честь учёных-актуариев Элиаса С.В. Шиу и Ганса-Ульриха Гербера . Спорным является вопрос о том, следовало ли эту функцию называть функцией Пауэрса-Гербера-Шиу из-за вклада Пауэрса.

В обозначениях Пауэрса это определяется как

$m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]$,

где $\delta$ дисконтирующая сила процента, $K_{\tau }$ — это общая функция штрафа, отражающая экономические издержки страховщика в момент разорения, а также ожидание $\mathbb {E} ^{x}$ соответствует вероятностной мере $\mathbb {P} ^{x}$. Пауэрс назвал эту функцию ожидаемой дисконтированной стоимостью неплатежеспособности.

В обозначениях Гербера и Шиу это задается как

$m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]$,

где $\delta$ дисконтирующая сила процента и $w(X_{\tau -},X_{\tau })$ представляет собой функцию штрафа, отражающую экономические издержки страховщика в момент банкротства (предполагается, что они зависят от профицита до банкротства). $X_{\tau -}$ и дефицит в руинах $X_{\tau }$), и ожидание $\mathbb {E} ^{x}$ соответствует вероятностной мере $\mathbb {P} ^{x}$. Здесь индикаторная функция $\mathbb {I} (\tau <\infty )$ подчеркивает, что наказание применяется только в случае разорения.

Интерпретировать ожидаемую функцию дисконтированного штрафа довольно интуитивно понятно. Поскольку функция измеряет актуарную приведенную стоимость штрафа, возникающего при $\tau$, штрафная функция умножается на дисконтирующий коэффициент $e^{-\delta \tau }$, а затем усредняется по распределению вероятностей времени ожидания до $\tau$. В то время как Гербер и Шиу применил эту функцию к классической составной модели Пуассона, Пауэрс утверждал, что прибыль страховщика лучше моделировать с помощью семейства диффузионных процессов.

Существует большое разнообразие величин, связанных с разорением, которые подпадают под категорию функции ожидаемого дисконтированного штрафа.

Особый случай	Математическое представление	Выбор штрафной функции
Вероятность окончательного разорения	$\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=1$
Совместное (неполноценное) распределение профицита и дефицита	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}<x,X_{\tau }<y\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)$
Неправильное распределение требований, приводящее к разорению	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)$
Трехмерное преобразование Лапласа времени, излишка и дефицита	$\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}]$	$w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}$
Совместные моменты профицита и дефицита	$\mathbb {E} ^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}$

Другие связанные с финансами величины, относящиеся к классу функции ожидаемого дисконтированного штрафа, включают в себя бессрочный американский опцион пут, условное требование в оптимальное время исполнения и многое другое.

Последние события

• Модель сложного риска Пуассона с постоянным процентом
• Модель сложного риска Пуассона со стохастическим процентом
• Модель риска броуновского движения
• Общая модель диффузионного процесса
• Марковско-модулированная модель риска
• Калькулятор коэффициента вероятности аварии (APF) – модель анализа рисков (@SBH)

См. также

• Финансовый риск
• Интегральное уравнение Вольтерра # Теория руин

Дальнейшее чтение

• Гербер, Ху (1979). Введение в математическую теорию риска . Филадельфия: Серия 8 монографий Фонда СС Хойбнера.
• Асмуссен С., Альбрехер Х. (2010). Вероятности разрушения, 2-е издание . Сингапур: World Scientific Publishing Co.