Формула Поллачека – Хинчина

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , формула Поллачека-Хинчина устанавливает взаимосвязь между длиной очереди и распределением времени обслуживания. Преобразования Лапласа для очереди M/G/1 (где задания поступают в соответствии с процессом Пуассона и имеют общее распределение времени обслуживания). Этот термин также используется для обозначения взаимосвязи между средней длиной очереди и средним временем ожидания/обслуживания в такой модели.

Формула была впервые опубликована Феликсом Поллачеком в 1930 году. и переработано в вероятностных терминах Александром Хинчиным два года спустя. В теории разорения эту формулу можно использовать для расчета вероятности окончательного разорения (вероятность банкротства страховой компании).

Средняя длина очереди

Формула гласит, что среднее количество клиентов в системе L определяется выражением

$L=\rho +{\frac {\rho ^{2}+\lambda ^{2}\operatorname {Var} (S)}{2(1-\rho )}}$

где

• $\lambda$ - скорость вступления процесса Пуассона
• $1/\mu$ — среднее значение распределения времени обслуживания S
• $\rho =\lambda /\mu$ это использование
• Var( S ) — это дисперсия распределения времени обслуживания S .

Чтобы средняя длина очереди была конечной, необходимо, чтобы $\rho <1$ в противном случае задания поступают быстрее, чем покидают очередь. «Интенсивность трафика» находится в диапазоне от 0 до 1 и представляет собой среднюю долю времени, в течение которой сервер занят. Если скорость прибытия $\lambda$ больше или равно скорости обслуживания $\mu$, задержка в очереди становится бесконечной. Член дисперсии входит в выражение благодаря парадоксу Феллера .

Среднее время ожидания

Если мы напишем W для обозначения среднего времени, которое клиент проводит в системе, то $W=W'+\mu ^{-1}$ где $W'$ — среднее время ожидания (время, проведенное в очереди в ожидании обслуживания) и $\mu$ это тариф за обслуживание. Используя закон Литтла , который гласит, что

$L=\lambda W$

где

• L — среднее количество клиентов в системе.
• $\lambda$ - скорость вступления процесса Пуассона
• W — среднее время, проведенное в очереди как в ожидании, так и на обслуживании,

так

$W={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}+\mu ^{-1}.$

Мы можем написать выражение для среднего времени ожидания как

$W'={\frac {L}{\lambda }}-\mu ^{-1}={\frac {\rho +\lambda \mu {\text{Var}}(S)}{2(\mu -\lambda )}}.$

Преобразование длины очереди

Записывая π( z ) для функции, генерирующей вероятность количества клиентов в очереди

$\pi (z)={\frac {(1-z)(1-\rho )g(\lambda (1-z))}{g(\lambda (1-z))-z}}$

где g( s ) — преобразование Лапласа функции плотности вероятности времени обслуживания.

Преобразование времени ожидания

Написание W ^* ( s ) для преобразования Лапласа–Стилтьеса распределения времени ожидания,

$W^{\ast }(s)={\frac {(1-\rho )sg(s)}{s-\lambda (1-g(s))}}$

где снова g( s ) — преобразование Лапласа функции плотности вероятности времени обслуживания. n -ные моменты можно получить, продифференцировав преобразование n раз и умножив на (−1) ^н и оцениваем при s = 0.