Д/М/1 хвост

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , очередь D/M/1 представляет длину очереди в системе с одним сервером, где прибытия происходят через фиксированные регулярные промежутки времени, а требования к обслуживанию заданий случайны с экспоненциальным распределением . Название модели написано в нотации Кендалла . Агнер Краруп Эрланг впервые опубликовал решение стационарного распределения очереди D/M/1 и D/M/ k , модель с k серверами, в 1917 и 1920 годах.

Определение модели

Очередь AD/M/1 — это случайный процесс, пространство состояний которого представляет собой набор {0,1,2,3,...}, где значение соответствует количеству клиентов в системе, включая всех, кто в данный момент обслуживается.

• Прибытие происходит детерминировано в фиксированное время β друг от друга.
• Время обслуживания распределено экспоненциально (с параметром скорости μ ).
• Один сервер обслуживает клиентов по одному, начиная с начала очереди, в соответствии с принципом «первым пришел — первым обслужен» . По завершении обслуживания клиент покидает очередь, и количество клиентов в системе уменьшается на одного.
• Буфер имеет бесконечный размер, поэтому количество клиентов, которые он может содержать, не ограничено.

Стационарное распределение

При µβ > 1 очередь имеет стационарное распределение.

$\pi _{i}={\begin{cases}0&{\text{ when }}i=0\\(1-\delta )\delta ^{i-1}&{\text{ when }}i>0\end{cases}}$

где δ — корень уравнения δ = e ^{-мб (1 – д )} с наименьшим абсолютным значением.

Время простоя

Среднее стационарное время простоя очереди (период с 0 клиентами) составляет β – 1/ µ с дисперсией (1 + δ − 2 µβδ )/ µ ² (1 – д ).

Время ожидания

Среднее стационарное время ожидания поступающих заданий равно (1/ µ ) δ /(1 – δ ).