Жидкая очередь

В теории массового обслуживания — дисциплине математической теории вероятностей — текучая очередь ( жидкостная модель) . ^[1] модель потока жидкости ^[2] или стохастическая модель жидкости ^[3]) — математическая модель, используемая для описания уровня жидкости в резервуаре с учетом случайно определяемых периодов наполнения и опорожнения. Термин «теория плотин» использовался в более ранней литературе для обозначения этих моделей. Модель использовалась для аппроксимации дискретных моделей, моделирования распространения лесных пожаров , ^[4] в теории руин ^[5] и моделировать высокоскоростные сети передачи данных. ^[6] Модель применяет алгоритм дырявого ведра к стохастическому источнику.

Модель была впервые представлена Пэтом Мораном в 1954 году, когда рассматривалась модель дискретного времени. ^[7]^[8]^[9] Гибкие очереди позволяют поступлениям быть непрерывными, а не дискретными, как в таких моделях, как очереди M/M/1 и M/G/1 .

Гибкие очереди использовались для моделирования производительности сетевого коммутатора . ^[10] маршрутизатор , ^[11] протокол IEEE 802.11 , ^[12] Асинхронный режим передачи (предназначенная технология для B-ISDN ), ^[13]^[14] одноранговый обмен файлами , ^[15] оптическое переключение импульсов , ^[16] и имеет применение в гражданском строительстве при проектировании плотин . ^[17] Процесс тесно связан с процессами квазирождения-смерти , для которых известны эффективные методы решения. ^[18]^[19]

Описание модели

Очередь жидкости можно рассматривать как большой резервуар, который обычно имеет бесконечную емкость, соединенный с рядом труб, которые наливают жидкость в резервуар, и с рядом насосов, которые удаляют жидкость из резервуара. Оператор управляет трубами и насосами, контролируя скорость, с которой жидкость поступает в буфер, и скорость, с которой жидкость уходит. Когда оператор переводит систему в состояние i, мы пишем r _i для чистой скорости поступления жидкости в этом состоянии (вход минус вывод). Когда буфер содержит жидкость, если мы напишем X ( t ) для уровня жидкости в момент времени t , ^[20]

{\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}={\begin{cases}r_{i}&{\text{ if }}X(t)>0\\\max(r_{i},0)&{\text{ if }}X(t)=0.\end{cases}}

Оператор представляет собой цепь Маркова с непрерывным временем и обычно называется процессом среды , фоновым процессом. ^[21] или процесс вождения . ^[6] Поскольку процесс X представляет уровень жидкости в буфере, он может принимать только неотрицательные значения.

Модель представляет собой особый тип кусочно-детерминированного марковского процесса , и ее также можно рассматривать как модель марковского вознаграждения с граничными условиями.

Стационарное распределение

Стационарное распределение представляет собой распределение фазового типа. ^[2] как впервые показал Асмуссен ^[22] и может быть вычислено с использованием методов матричного анализа . ^[10]

Метод аддитивной декомпозиции численно стабилен и разделяет необходимые для вычислений собственные значения с помощью разложения Шура . ^[23]^[24]

Модель включения/выключения

Для простой системы, где обслуживание имеет постоянную скорость µ, а скорость прибытия колеблется между скоростями λ и 0 (в состояниях 1 и 2 соответственно) в соответствии с цепью Маркова с непрерывным временем с порождающей матрицей

Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}

стационарное распределение может быть вычислено явно и определяется выражением ^[6]

F(x,1)={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}\left(1-e^{\left({\frac {\beta }{\mu }}-{\frac {\alpha }{\lambda -\mu }}\right)x}\right)

F(x,2)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}-{\frac {\beta \left(\lambda -\mu \right)}{\alpha +\beta }}e^{\left({\frac {\beta }{\mu }}-{\frac {\alpha }{\lambda -\mu }}\right)x}

и средний уровень жидкости ^[25]

{\frac {(\lambda -\mu )\beta }{(\mu (\alpha +\beta )-\beta \lambda )(\alpha +\beta )}}(\mu ,\lambda -\mu ).

Напряженный период

Период занятости — это период времени, измеряемый с момента первого поступления жидкости в буфер ( X ( t ) становится ненулевым) до тех пор, пока буфер снова не станет пустым ( X ( t ) не вернется к нулю). В более ранней литературе его иногда называют влажным периодом (плотины). ^[26] Преобразование Лапласа – Стилтьеса распределения периода занятости известно для жидкостной очереди с бесконечным буфером. ^[27]^[28]^[29] и ожидаемый период занятости в случае конечного буфера и поступления в виде мгновенных скачков. ^[26]

Для бесконечного буфера с постоянной скоростью обслуживания µ и поступлениями со скоростями λ и 0, модулированным цепью Маркова с непрерывным временем и параметрами

Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}

напишите W *( s ) для преобразования Лапласа – Стилтьеса распределения периода занятости, тогда ^[29]

W^{\ast }(s)={\frac {\beta \lambda +s\lambda -\beta \mu +\alpha \mu -{\sqrt {4\beta \alpha \mu (\mu -\lambda )+(s\lambda +\beta (\lambda -\mu )+\alpha \mu )^{2}}}}{2\beta (\lambda -\mu )}}

что дает средний период занятости ^[30]

\mathbb {E} (W)={\frac {\lambda }{\alpha \mu +\beta (\lambda -\mu )}}.

В этом случае для одного источника включения/выключения распределение периодов занятости, как известно, представляет собой функцию убывающей интенсивности отказов , что означает, что чем дольше длился период занятости, тем дольше он, вероятно, продлится. ^[31]

В целом существует два основных подхода к определению периода занятости: либо спектральное разложение, либо итерационный рекуррентный метод. ^[32]Квадратично сходящийся алгоритм вычисления точек преобразования был опубликован Аном и Рамасвами. ^[33]

Пример

Например, если очередь жидкости со скоростью обслуживания μ = 2 питается от источника включения/выключения с параметрами α = 2, β = 1 и λ = 3, то очередь жидкости имеет период занятости со средним значением 1 и дисперсией 5/3.

Уровень потерь

В конечном буфере скорость потери жидкости (выбрасываемой из системы из-за полного буфера) можно вычислить с помощью преобразований Лапласа-Стилтьеса. ^[34]

Горный процесс

Термин «горный процесс» был придуман для описания максимального значения процесса содержимого буфера, достигнутого в период занятости, и может быть вычислен с использованием результатов из очереди G/M/1 . ^[35]^[36]

Сети текучих очередей

Было вычислено стационарное распределение двух тандемных очередей жидкости и показано, что оно не демонстрирует стационарного распределения формы продукта в нетривиальных случаях. ^[25]^[30]^[37]^[38]^[39]

Очереди с обратной связью

Очередь жидкости обратной связи — это модель, в которой параметры модели (матрица скорости перехода и вектор дрейфа) могут в некоторой степени зависеть от содержимого буфера. Обычно содержимое буфера разбито на разделы, и параметры зависят от того, в каком разделе находится процесс содержимого буфера. ^[40] Упорядоченная факторизация Шура может использоваться для эффективного вычисления стационарного распределения такой модели. ^[41]

Жидкостные очереди второго порядка

Жидкостные очереди второго порядка (иногда называемые марковскими модулированными диффузионными процессами или жидкостные очереди с броуновским шумом). ^[42]) рассмотрим отраженное броуновское движение с параметрами, управляемыми марковским процессом. ^[22]^[43] Обычно рассматривают два различных типа граничных условий: поглощающие и отражающие. ^[44]

Внешние ссылки

BuTools — в MATLAB , Python и Mathematica . реализация некоторых из приведенных выше результатов
PevaTools , код MATLAB для многорежимных моделей
Учебное пособие по моделям потока жидкости от В. Рамасвами на MAM8

Ссылки

^ Митра, Д. (1988). «Стохастическая теория жидкостной модели производителей и потребителей, связанных буфером». Достижения в области прикладной теории вероятности . 20 (3): 646–676. дои : 10.2307/1427040 . JSTOR 1427040 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ан, С.; Рамасвами, В. (2003). «Модели потока жидкости и очереди — связь посредством стохастической связи» (PDF) . Стохастические модели . 19 (3): 325. doi : 10.1081/STM-120023564 . S2CID 6733796 .
^ Эльвалид, А.И.; Митра, Д. (1991). «Анализ и проектирование управления перегрузкой высокоскоростных сетей на основе скорости, I: стохастические жидкостные модели, регулирование доступа». Системы массового обслуживания . 9 (1–2): 29–63. дои : 10.1007/BF01158791 . S2CID 19379411 .
^ Стэнфорд, Дэвид А.; Латуш, Гай; Вулфорд, Дуглас Г.; Бойчук, Денис; Гунчак, Алек (2005). «Эрланизированные очереди жидкости с применением к периметру неконтролируемого пожара». Стохастические модели . 21 (2–3): 631. doi : 10.1081/STM-200056242 . S2CID 123591340 .
^ Ремиш, Массачусетс (2005). «Соответствие модели токен-ведра марковскому трафику». Стохастические модели . 21 (2–3): 615–630. дои : 10.1081/STM-200057884 . S2CID 121190780 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кулкарни, Видьядхар Г. (1997). «Модели жидкости для одиночных буферных систем» (PDF) . Границы в массовом обслуживании: модели и приложения в науке и технике . стр. 321–338. ISBN 978-0-8493-8076-1 .
^ Моран, ПАП (1954). «Теория вероятности плотин и систем хранения». Ауст. Дж. Прил. Наука . 5 : 116–124.
^ Фатарфод, РМ (1963). «Применение методов последовательного анализа к теории плотин» . Анналы математической статистики . 34 (4): 1588–1592. дои : 10.1214/aoms/1177703892 .
^ Гани, Дж.; Прабху, Нью-Йорк (1958). «Непрерывное решение проблемы хранения». Природа . 182 (4627): 39. Бибкод : 1958Natur.182...39G . дои : 10.1038/182039a0 . S2CID 42193342 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Аник, Д.; Митра, Д. ; Сондхи, ММ (1982). «Стохастическая теория системы обработки данных с несколькими источниками» (PDF) . Технический журнал Bell System . 61 (8): 1871–1894. дои : 10.1002/j.1538-7305.1982.tb03089.x . S2CID 16836549 .
^ Хон, Н.; Вейч, Д.; Папаганнаки, К.; Диот, К. (2004). «Производительность мостового маршрутизатора и теория массового обслуживания». Материалы совместной международной конференции по измерению и моделированию компьютерных систем - SIGMETRICS 2004/PERFORMANCE 2004 . п. 355. CiteSeerX 10.1.1.1.3208 . дои : 10.1145/1005686.1005728 . ISBN 978-1581138733 . S2CID 14416842 .
^ Аруначалам, В.; Гупта, В.; Дхармараджа, С. (2010). «Жидкая очередь, модулируемая двумя независимыми процессами рождения и смерти» . Компьютеры и математика с приложениями . 60 (8): 2433–2444. дои : 10.1016/j.camwa.2010.08.039 .
^ Норрос, И.; Робертс, Дж.В.; Симонян А.; Виртамо, Дж.Т. (1991). «Суперпозиция источников с переменной скоростью передачи данных в мультиплексоре ATM». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 9 (3): 378. дои : 10.1109/49.76636 .
^ Расмуссен, К.; Соренсен, Дж. Х.; Кволс, КС; Якобсен, С.Б. (1991). «Независимые от источника процедуры приема вызовов в сетях банкоматов». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 9 (3): 351. дои : 10.1109/49.76633 .
^ Гаэта, Р.; Грибаудо, М.; Манини, Д.; Серено, М. (2006). «Анализ передачи ресурсов в одноранговых приложениях для обмена файлами с использованием гибких моделей». Оценка производительности . 63 (3): 149. CiteSeerX 10.1.1.102.3905 . дои : 10.1016/j.peva.2005.01.001 .
^ Язычи, Массачусетс; Акар, Н. (2013). «Анализ очередей марковской жидкости с непрерывной обратной связью и его применение к моделированию оптического пакетного переключения». Материалы 25-го Международного конгресса по телетрафику (ITC) 2013 г. стр. 1–8. дои : 10.1109/ITC.2013.6662952 . hdl : 11693/28055 . ISBN 978-0-9836283-7-8 . S2CID 863180 .
^ Гани, Дж. (1969). «Последние достижения в области теории хранения и наводнений». Достижения в области прикладной теории вероятности . 1 (1): 90–110. дои : 10.2307/1426410 . JSTOR 1426410 .
^ Рамасвами, В. Смит, Д.; Привет, Пи (ред.). «Методы матричного анализа стохастических потоков жидкости». Инженерия телетрафика в конкурентном мире (Материалы 16-го Международного конгресса по телетрафику) . Эльзевир Сайенс Б.В.
^ Говорун, М.; Латуш, Ж.; Ремиш, Массачусетс (2013). «Стабильность текучих очередей: характеристические неравенства». Стохастические модели . 29 : 64–88. дои : 10.1080/15326349.2013.750533 . S2CID 120102947 .
^ Роджерс, LCG ; Ши, З. (1994). «Вычисление закона инварианта модели жидкости». Журнал прикладной вероятности . 31 (4): 885–896. дои : 10.2307/3215314 . JSTOR 3215314 .
^ Шейнхардт, В.; Ван Форест, Н.; Корзины, М. (2005). «Жидкие очереди с непрерывной обратной связью» . Письма об исследованиях операций . 33 (6):551 дои : 10.1016/j.orl.2004.11.008 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Асмуссен, Сорен (1995). «Стационарные распределения для моделей потока жидкости с броуновским шумом или без него». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 11 : 21–49. дои : 10.1080/15326349508807330 .
^ Акар, Н.; Сохраби, К. (2004). «Марковские жидкостные очереди с бесконечной и конечной буферностью: унифицированный анализ» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 41 (2): 557. doi : 10.1239/jap/1082999086 . hdl : 11693/24279 . JSTOR 3216036 .
^ Телек, М.С.; Вечеи, М.С. (2013). «Анализ очередей жидкости при насыщении с аддитивным разложением» (PDF) . Современные вероятностные методы анализа телекоммуникационных сетей . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 356. с. 167. дои : 10.1007/978-3-642-35980-4_19 . ISBN 978-3-642-35979-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Филд, А.; Харрисон, П. (2007). «Приближенный композиционный подход к анализу гибких сетей очередей» . Оценка производительности . 64 (9–12): 1137. doi : 10.1016/j.peva.2007.06.025 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ли, Юй Ён; Кинатедер, Кимберли К.Дж. (2000). «Ожидаемый влажный период конечной плотины с экспоненциальными входными данными» . Случайные процессы и их приложения . 90 : 175–180. дои : 10.1016/S0304-4149(00)00034-X .
^ Боксма, Огайо ; Дюма, В. (1998). «Период занятости в жидкой очереди». Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 26 : 100–110. дои : 10.1145/277858.277881 .
^ Филд, Эй Джей; Харрисон, П.Г. (2010). «Периоды занятости в подвижных очередях с несколькими состояниями ввода опустошения» . Журнал прикладной вероятности . 47 (2): 474. doi : 10.1239/jap/1276784904 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Асмуссен, СР (1994). «Анализ периода занятости, редкие события и переходное поведение в моделях потока жидкости» (PDF) . Журнал прикладной математики и стохастического анализа . 7 (3): 269–299. дои : 10.1155/S1048953394000262 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Крозе, ДП ; Шейнхардт, WRW (2001). «Совместные распределения для взаимодействующих очередей жидкостей». Системы массового обслуживания . 37 : 99–139. дои : 10.1023/А:1011044217695 . S2CID 3482641 .
^ Гаутам, Н.; Кулкарни, В.Г.; Пальмовски З.; Рольски, Т. (1999). «Границы для моделей жидкости, управляемых полумарковскими входными данными» (PDF) . Вероятность в инженерных и информационных науках . 13 (4): 429. doi : 10.1017/S026996489913403X .
^ Бадеску, Андрей Л.; Ландрио, Дэвид (2009). «Применение методов анализа матрицы потока жидкости в теории разрушений - обзор» (PDF) . RACSAM - Журнал Королевской академии точных, физических и естественных наук. Серия А. Математика . 103 (2): 353–372. дои : 10.1007/BF03191912 . S2CID 53498442 .
^ Ан, С.; Рамасвами, В. (2005). «Эффективные алгоритмы анализа переходных процессов стохастических моделей потока жидкости» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 42 (2): 531. doi : 10.1239/jap/1118777186 .
^ О'Рейли, MGM; Пальмовски, З. (2013). «Уровни потерь для моделей стохастической жидкости». Оценка производительности . 70 (9): 593. doi : 10.1016/j.peva.2013.05.005 .
^ Боксма, Огайо ; Перри, Д.; Ван дер Дуйн Схоутен, ФА (1999). «Жидкие очереди и горные процессы» . Вероятность в инженерных и информационных науках . 13 (4): 407–427. дои : 10.1017/S0269964899134028 .
^ Боксма, Огайо ; Перри, Д. (2009). «О циклическом максимуме гор, плотин и очередей». Коммуникации в статистике - теория и методы . 38 (16–17): 2706. doi : 10.1080/03610910902936232 . S2CID 9973624 .
^ Келла, О. (1996). «Стабильность и непродуктивная форма стохастических текучих сетей с входами Леви» . Анналы прикладной теории вероятности . 6 : 186–199. дои : 10.1214/aoap/1034968070 .
^ Келла, О. (2000). «Непродуктовая форма двумерных жидкостных сетей с зависимыми входами Леви». Журнал прикладной вероятности . 37 (4): 1117–1122. дои : 10.1239/яп/1014843090 .
^ Дембицкий, К.; Дикер, AB; Рольски, Т. (2007). «Формы квазипродуктов для жидкостных сетей, управляемых Леви». Математика исследования операций . 32 (3): 629. arXiv : math/0512119 . дои : 10.1287/moor.1070.0259 . S2CID 16150704 .
^ Малхотра, Р.; Манджес, MRH; Шейнхардт, WRW; Берг, Дж.Л. (2008). «Жидкая очередь обратной связи с двумя порогами контроля перегрузки» . Математические методы исследования операций . 70 : 149–169. дои : 10.1007/s00186-008-0235-8 .
^ Канкая, ОН; Акар, Н. (2008). «Решение многорежимных очередей с обратной связью». Стохастические модели . 24 (3): 425. дои : 10.1080/15326340802232285 . hdl : 11693/23071 . S2CID 53363967 .
^ Иванов, Ю. (2010). «Марково-модулированное броуновское движение с двумя отражающими барьерами». Журнал прикладной вероятности . 47 (4): 1034–1047. arXiv : 1003.4107 . дои : 10.1239/яп/1294170517 . S2CID 19329962 .
^ Карандикар, РЛ; Кулкарни, В.Г. (1995). «Модели потока жидкости второго порядка: отраженное броуновское движение в случайной среде». Исследование операций . 43 : 77–88. дои : 10.1287/opre.43.1.77 .
^ Грибаудо, М.; Манини, Д.; Серикола, Б.; Телек, М. (2007). «Модели жидкости второго порядка с общим граничным поведением». Анналы исследования операций . 160 : 69–82. CiteSeerX 10.1.1.484.6192 . дои : 10.1007/s10479-007-0297-7 . S2CID 1735120 .

[1] Митра, Д. (1988). «Стохастическая теория жидкостной модели производителей и потребителей, связанных буфером». Достижения в области прикладной теории вероятности . 20 (3): 646–676. дои : 10.2307/1427040 . JSTOR 1427040 .

[ahn-2] Перейти обратно: ^а ^б Ан, С.; Рамасвами, В. (2003). «Модели потока жидкости и очереди — связь посредством стохастической связи» (PDF) . Стохастические модели . 19 (3): 325. doi : 10.1081/STM-120023564 . S2CID 6733796 .

[3] Эльвалид, А.И.; Митра, Д. (1991). «Анализ и проектирование управления перегрузкой высокоскоростных сетей на основе скорости, I: стохастические жидкостные модели, регулирование доступа». Системы массового обслуживания . 9 (1–2): 29–63. дои : 10.1007/BF01158791 . S2CID 19379411 .

[4] Стэнфорд, Дэвид А.; Латуш, Гай; Вулфорд, Дуглас Г.; Бойчук, Денис; Гунчак, Алек (2005). «Эрланизированные очереди жидкости с применением к периметру неконтролируемого пожара». Стохастические модели . 21 (2–3): 631. doi : 10.1081/STM-200056242 . S2CID 123591340 .

[5] Ремиш, Массачусетс (2005). «Соответствие модели токен-ведра марковскому трафику». Стохастические модели . 21 (2–3): 615–630. дои : 10.1081/STM-200057884 . S2CID 121190780 .

[kulkarni-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кулкарни, Видьядхар Г. (1997). «Модели жидкости для одиночных буферных систем» (PDF) . Границы в массовом обслуживании: модели и приложения в науке и технике . стр. 321–338. ISBN 978-0-8493-8076-1 .

[7] Моран, ПАП (1954). «Теория вероятности плотин и систем хранения». Ауст. Дж. Прил. Наука . 5 : 116–124.

[phatarfod-8] Фатарфод, РМ (1963). «Применение методов последовательного анализа к теории плотин» . Анналы математической статистики . 34 (4): 1588–1592. дои : 10.1214/aoms/1177703892 .

[9] Гани, Дж.; Прабху, Нью-Йорк (1958). «Непрерывное решение проблемы хранения». Природа . 182 (4627): 39. Бибкод : 1958Natur.182...39G . дои : 10.1038/182039a0 . S2CID 42193342 .

[anick-10] Перейти обратно: ^а ^б Аник, Д.; Митра, Д. ; Сондхи, ММ (1982). «Стохастическая теория системы обработки данных с несколькими источниками» (PDF) . Технический журнал Bell System . 61 (8): 1871–1894. дои : 10.1002/j.1538-7305.1982.tb03089.x . S2CID 16836549 .

[11] Хон, Н.; Вейч, Д.; Папаганнаки, К.; Диот, К. (2004). «Производительность мостового маршрутизатора и теория массового обслуживания». Материалы совместной международной конференции по измерению и моделированию компьютерных систем - SIGMETRICS 2004/PERFORMANCE 2004 . п. 355. CiteSeerX 10.1.1.1.3208 . дои : 10.1145/1005686.1005728 . ISBN 978-1581138733 . S2CID 14416842 .

[12] Аруначалам, В.; Гупта, В.; Дхармараджа, С. (2010). «Жидкая очередь, модулируемая двумя независимыми процессами рождения и смерти» . Компьютеры и математика с приложениями . 60 (8): 2433–2444. дои : 10.1016/j.camwa.2010.08.039 .

[13] Норрос, И.; Робертс, Дж.В.; Симонян А.; Виртамо, Дж.Т. (1991). «Суперпозиция источников с переменной скоростью передачи данных в мультиплексоре ATM». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 9 (3): 378. дои : 10.1109/49.76636 .

[14] Расмуссен, К.; Соренсен, Дж. Х.; Кволс, КС; Якобсен, С.Б. (1991). «Независимые от источника процедуры приема вызовов в сетях банкоматов». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 9 (3): 351. дои : 10.1109/49.76633 .

[15] Гаэта, Р.; Грибаудо, М.; Манини, Д.; Серено, М. (2006). «Анализ передачи ресурсов в одноранговых приложениях для обмена файлами с использованием гибких моделей». Оценка производительности . 63 (3): 149. CiteSeerX 10.1.1.102.3905 . дои : 10.1016/j.peva.2005.01.001 .

[16] Язычи, Массачусетс; Акар, Н. (2013). «Анализ очередей марковской жидкости с непрерывной обратной связью и его применение к моделированию оптического пакетного переключения». Материалы 25-го Международного конгресса по телетрафику (ITC) 2013 г. стр. 1–8. дои : 10.1109/ITC.2013.6662952 . hdl : 11693/28055 . ISBN 978-0-9836283-7-8 . S2CID 863180 .

[17] Гани, Дж. (1969). «Последние достижения в области теории хранения и наводнений». Достижения в области прикладной теории вероятности . 1 (1): 90–110. дои : 10.2307/1426410 . JSTOR 1426410 .

[18] Рамасвами, В. Смит, Д.; Привет, Пи (ред.). «Методы матричного анализа стохастических потоков жидкости». Инженерия телетрафика в конкурентном мире (Материалы 16-го Международного конгресса по телетрафику) . Эльзевир Сайенс Б.В.

[19] Говорун, М.; Латуш, Ж.; Ремиш, Массачусетс (2013). «Стабильность текучих очередей: характеристические неравенства». Стохастические модели . 29 : 64–88. дои : 10.1080/15326349.2013.750533 . S2CID 120102947 .

[20] Роджерс, LCG ; Ши, З. (1994). «Вычисление закона инварианта модели жидкости». Журнал прикладной вероятности . 31 (4): 885–896. дои : 10.2307/3215314 . JSTOR 3215314 .

[21] Шейнхардт, В.; Ван Форест, Н.; Корзины, М. (2005). «Жидкие очереди с непрерывной обратной связью» . Письма об исследованиях операций . 33 (6):551 дои : 10.1016/j.orl.2004.11.008 .

[asmussen1995-22] Перейти обратно: ^а ^б Асмуссен, Сорен (1995). «Стационарные распределения для моделей потока жидкости с броуновским шумом или без него». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 11 : 21–49. дои : 10.1080/15326349508807330 .

[23] Акар, Н.; Сохраби, К. (2004). «Марковские жидкостные очереди с бесконечной и конечной буферностью: унифицированный анализ» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 41 (2): 557. doi : 10.1239/jap/1082999086 . hdl : 11693/24279 . JSTOR 3216036 .

[24] Телек, М.С.; Вечеи, М.С. (2013). «Анализ очередей жидкости при насыщении с аддитивным разложением» (PDF) . Современные вероятностные методы анализа телекоммуникационных сетей . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 356. с. 167. дои : 10.1007/978-3-642-35980-4_19 . ISBN 978-3-642-35979-8 .

[fieldapprox-25] Перейти обратно: ^а ^б Филд, А.; Харрисон, П. (2007). «Приближенный композиционный подход к анализу гибких сетей очередей» . Оценка производительности . 64 (9–12): 1137. doi : 10.1016/j.peva.2007.06.025 .

[lee-26] Перейти обратно: ^а ^б Ли, Юй Ён; Кинатедер, Кимберли К.Дж. (2000). «Ожидаемый влажный период конечной плотины с экспоненциальными входными данными» . Случайные процессы и их приложения . 90 : 175–180. дои : 10.1016/S0304-4149(00)00034-X .

[27] Боксма, Огайо ; Дюма, В. (1998). «Период занятости в жидкой очереди». Обзор оценки производительности ACM SIGMETRICS . 26 : 100–110. дои : 10.1145/277858.277881 .

[28] Филд, Эй Джей; Харрисон, П.Г. (2010). «Периоды занятости в подвижных очередях с несколькими состояниями ввода опустошения» . Журнал прикладной вероятности . 47 (2): 474. doi : 10.1239/jap/1276784904 .

[asmussen-29] Перейти обратно: ^а ^б Асмуссен, СР (1994). «Анализ периода занятости, редкие события и переходное поведение в моделях потока жидкости» (PDF) . Журнал прикладной математики и стохастического анализа . 7 (3): 269–299. дои : 10.1155/S1048953394000262 .

[kroese-30] Перейти обратно: ^а ^б Крозе, ДП ; Шейнхардт, WRW (2001). «Совместные распределения для взаимодействующих очередей жидкостей». Системы массового обслуживания . 37 : 99–139. дои : 10.1023/А:1011044217695 . S2CID 3482641 .

[31] Гаутам, Н.; Кулкарни, В.Г.; Пальмовски З.; Рольски, Т. (1999). «Границы для моделей жидкости, управляемых полумарковскими входными данными» (PDF) . Вероятность в инженерных и информационных науках . 13 (4): 429. doi : 10.1017/S026996489913403X .

[32] Бадеску, Андрей Л.; Ландрио, Дэвид (2009). «Применение методов анализа матрицы потока жидкости в теории разрушений - обзор» (PDF) . RACSAM - Журнал Королевской академии точных, физических и естественных наук. Серия А. Математика . 103 (2): 353–372. дои : 10.1007/BF03191912 . S2CID 53498442 .

[33] Ан, С.; Рамасвами, В. (2005). «Эффективные алгоритмы анализа переходных процессов стохастических моделей потока жидкости» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 42 (2): 531. doi : 10.1239/jap/1118777186 .

[34] О'Рейли, MGM; Пальмовски, З. (2013). «Уровни потерь для моделей стохастической жидкости». Оценка производительности . 70 (9): 593. doi : 10.1016/j.peva.2013.05.005 .

[35] Боксма, Огайо ; Перри, Д.; Ван дер Дуйн Схоутен, ФА (1999). «Жидкие очереди и горные процессы» . Вероятность в инженерных и информационных науках . 13 (4): 407–427. дои : 10.1017/S0269964899134028 .

[36] Боксма, Огайо ; Перри, Д. (2009). «О циклическом максимуме гор, плотин и очередей». Коммуникации в статистике - теория и методы . 38 (16–17): 2706. doi : 10.1080/03610910902936232 . S2CID 9973624 .

[37] Келла, О. (1996). «Стабильность и непродуктивная форма стохастических текучих сетей с входами Леви» . Анналы прикладной теории вероятности . 6 : 186–199. дои : 10.1214/aoap/1034968070 .

[38] Келла, О. (2000). «Непродуктовая форма двумерных жидкостных сетей с зависимыми входами Леви». Журнал прикладной вероятности . 37 (4): 1117–1122. дои : 10.1239/яп/1014843090 .

[39] Дембицкий, К.; Дикер, AB; Рольски, Т. (2007). «Формы квазипродуктов для жидкостных сетей, управляемых Леви». Математика исследования операций . 32 (3): 629. arXiv : math/0512119 . дои : 10.1287/moor.1070.0259 . S2CID 16150704 .

[40] Малхотра, Р.; Манджес, MRH; Шейнхардт, WRW; Берг, Дж.Л. (2008). «Жидкая очередь обратной связи с двумя порогами контроля перегрузки» . Математические методы исследования операций . 70 : 149–169. дои : 10.1007/s00186-008-0235-8 .

[41] Канкая, ОН; Акар, Н. (2008). «Решение многорежимных очередей с обратной связью». Стохастические модели . 24 (3): 425. дои : 10.1080/15326340802232285 . hdl : 11693/23071 . S2CID 53363967 .

[42] Иванов, Ю. (2010). «Марково-модулированное броуновское движение с двумя отражающими барьерами». Журнал прикладной вероятности . 47 (4): 1034–1047. arXiv : 1003.4107 . дои : 10.1239/яп/1294170517 . S2CID 19329962 .

[43] Карандикар, РЛ; Кулкарни, В.Г. (1995). «Модели потока жидкости второго порядка: отраженное броуновское движение в случайной среде». Исследование операций . 43 : 77–88. дои : 10.1287/opre.43.1.77 .

[44] Грибаудо, М.; Манини, Д.; Серикола, Б.; Телек, М. (2007). «Модели жидкости второго порядка с общим граничным поведением». Анналы исследования операций . 160 : 69–82. CiteSeerX 10.1.1.484.6192 . дои : 10.1007/s10479-007-0297-7 . S2CID 1735120 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

v т и Теория массового обслуживания
Одиночные узлы массового обслуживания	Д/М/1 хвост М/Д/1 хвост М/Д/Ц хвост Очередь М/М/1 Теорема Берка Очередь М/М/Ц Очередь М/М/∞ Очередь M/G/1 Формула Поллачека – Хинчина Матричный аналитический метод Очередь M/G/k Очередь G/M/1 Очередь G/G/1 Формула Кингмана Уравнение Линдли Разветвить очередь – присоединиться к ней Массовая очередь
Процессы прибытия	Точный процесс Пуассона Марковский процесс прибытия Рациональный процесс прибытия
Сети массового обслуживания	Сеть Джексона Уравнения дорожного движения Теорема Гордона – Ньюэлла Анализ среднего значения Алгоритм Бузена сеть Келли G-сеть Сеть BCMP
Политика обслуживания	ФИФО ЛИФО Совместное использование процессора Круговой Самая короткая работа следующая Кратчайшее оставшееся время
Ключевые понятия	Цепь Маркова с непрерывным временем Обозначения Кендалла Закон Литтла Решение в форме продукта Уравнение баланса Квазиобратимость Потоко-эквивалентный серверный метод Теорема о прибытии Метод разложения метод Бенеша
Предельные теоремы	Предел жидкости Теория среднего поля Приближение интенсивного движения Отраженное броуновское движение
Расширения	Жидкая очередь Многоуровневая сеть массового обслуживания Система опроса Состязательная сеть массового обслуживания Сеть потерь Очередь повторных попыток
Информационные системы	Буфер данных Эрланг (единица измерения) Распределение Эрланга Управление потоком (данные) Очередь сообщений Перегрузка сети Сетевой планировщик Конвейер (программное обеспечение) Качество обслуживания Планирование (вычисления) Телетрафик инжиниринг
Категория

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category