Процесс квазирождения-смерти

В моделях массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , процесс квазирождения-смерти описывает обобщение процесса рождения-смерти . Как и в случае с процессом рождения и смерти, он перемещается вверх и вниз между уровнями по одному, но время между этими переходами может иметь более сложное распределение, закодированное в блоках.

Дискретное время

Стохастическая матрица, описывающая цепь Маркова, имеет блочную структуру.

$P={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ast }&A_{2}^{\ast }\\A_{0}^{\ast }&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

где каждая из A ₀ , A ₁ и A ₂ является матрицей, а A * ₀ , A * ₁ и A * ₂ являются нерегулярными матрицами для первого и второго уровней.

Непрерывное время

Матрица скорости перехода для процесса квазирождения-смерти имеет трехдиагональную блочную структуру.

$Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}$

где каждая из B ₀₀ , B ₀₁ , B ₁₀ , A ₀ , A ₁ и A ₂ является матрицей. Процесс можно рассматривать как двумерную цепочку, где блочная структура называется уровнями , а внутриблочная структура – ​​фазами . При описании процесса как по уровню, так и по фазе это цепь Маркова с непрерывным временем , но при рассмотрении только уровней это полумарковский процесс (поскольку времена перехода тогда не распределяются экспоненциально).

Обычно блоки имеют конечное число фаз, но такие модели, как сеть Джексона, можно рассматривать как квазипроцессы рождения-смерти с бесконечным (но счетным ) количеством фаз.

Стационарное распределение

Стационарное распределение процесса квазирождения-смерти можно вычислить с помощью матричного геометрического метода .