Процесс Хоукса

В теории вероятностей и статистике процесс Хоукса , названный в честь Алана Г. Хоукса, представляет собой разновидность самовозбуждающегося точечного процесса . ^[1] Время от времени приходят прибытия ${\textstyle 0<t_{1}<t_{2}<t_{3}<\cdots }$ где бесконечно малая вероятность прибытия за интервал времени ${\textstyle [t,t+dt)}$ является

\lambda _{t}\,dt=\left(\mu (t)+\sum _{t_{i}\,:\,t_{i}\,<\,t}\phi (t-t_{i})\right)\,dt.

Функция ${\textstyle \mu }$ – это интенсивность основного процесса Пуассона . Первое прибытие происходит в момент времени ${\textstyle t_{1}}$ и сразу после этого интенсивность становится ${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})}$ , и в то время ${\textstyle t_{2}}$ второго вступления интенсивность подскакивает до ${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})+\phi (t-t_{2})}$ и так далее. ^[2]

В течение временного интервала ${\textstyle (t_{k},t_{k+1})}$ , процесс представляет собой сумму ${\textstyle k+1}$ независимые процессы с интенсивностью ${\textstyle \mu (t),\phi (t-t_{1}),\ldots ,\phi (t-t_{k}).}$ Вступления в процесс, интенсивность которых ${\textstyle \phi (t-t_{k})}$ являются «дочерями» прибытия во времени ${\textstyle t_{k}.}$ Интеграл $\int _{0}^{\infty }\phi (t)\,dt$ является средним числом дочерей каждого поступления и называется коэффициентом ветвления . Таким образом, рассматривая некоторые поступления как потомков более ранних поступлений, мы имеем ветвящийся процесс Гальтона – Ватсона . Число таких потомков конечно с вероятностью 1, если коэффициент ветвления равен 1 или меньше. Если коэффициент ветвления больше 1, то каждое прибытие имеет положительную вероятность иметь бесконечно много потомков.

Приложения

Процессы Хоукса используются для статистического моделирования событий в математических финансах . ^[3] эпидемиология , ^[4] землетрясений сейсмология , ^[5] и другие области, в которых случайное событие демонстрирует самовозбуждающееся поведение. ^[6]^[7]

См. также

Ссылки

^ Лауб, Патрик Дж.; Ли, Янг; Таймре, Томас (2021). Элементы процессов Хокса . дои : 10.1007/978-3-030-84639-8 . ISBN 978-3-030-84638-1 . S2CID 245682002 .
^ Хоукс, Алан Г. (1971). «Спектры некоторых самовозбуждающихся и взаимно возбуждающих точечных процессов» . Биометрика . 58 (1): 83–90. дои : 10.1093/biomet/58.1.83 . ISSN 0006-3444 .
^ Хоукс, Алан Г. (2018). «Процессы Хокса и их применение в финансировании: обзор» . Количественные финансы . 18 (2): 193–198. дои : 10.1080/14697688.2017.1403131 . ISSN 1469-7688 . S2CID 158619662 .
^ Ризою, Мариан-Андрей; Мишра, Свапнил; Конг, Цюй; Карман, Марк; Се, Лексинг (2018). «СИР-Хоукс: связь моделей эпидемий и процессов Хокса с моделями диффузии в конечных популяциях». Материалы конференции World Wide Web 2018 года по Всемирной паутине — WWW '18 . стр. 419–428. arXiv : 1711.01679 . дои : 10.1145/3178876.3186108 . S2CID 195346881 .
^ Квон, Чунхён; Чжэн, Инцай; Джун, Микён (2023). «Гибкие пространственно-временные модели процесса Хоукса для возникновения землетрясений» . Пространственная статистика . 54 : 100728. arXiv : 2210.08053 . Бибкод : 2023SpaSt..5400728K . дои : 10.1016/j.spasta.2023.100728 . S2CID 252917746 .
^ Тенч, Стивен; Фрай, Ханна; Гилл, Пол (2016). «Пространственно-временные закономерности использования СВУ Временной Ирландской республиканской армией» . Европейский журнал прикладной математики . 27 (3): 377–402. дои : 10.1017/S0956792515000686 . ISSN 0956-7925 . S2CID 53692006 .
^ Лауб, Патрик Дж.; Таймре, Томас; Поллетт, Филип К. (2015). «Процессы Хокса». arXiv : 1507.02822 [ мат.PR ].

Дальнейшее чтение

Бакри, Эммануэль; Мастроматтео, Якопо; Мюзи, Жан-Франсуа (2015). «Процессы Хокса в финансах». arXiv : 1502.04592 [ q-fin.TR ].
Ризою, Мариан-Андрей; Ли, Янг; Мишра, Свапнил; Се, Лексинг (2017). «Учебное пособие по процессам Хокса для событий в социальных сетях». arXiv : 1708.06401 [ stat.ML ].

[1] Лауб, Патрик Дж.; Ли, Янг; Таймре, Томас (2021). Элементы процессов Хокса . дои : 10.1007/978-3-030-84639-8 . ISBN 978-3-030-84638-1 . S2CID 245682002 .

[2] Хоукс, Алан Г. (1971). «Спектры некоторых самовозбуждающихся и взаимно возбуждающих точечных процессов» . Биометрика . 58 (1): 83–90. дои : 10.1093/biomet/58.1.83 . ISSN 0006-3444 .

[3] Хоукс, Алан Г. (2018). «Процессы Хокса и их применение в финансировании: обзор» . Количественные финансы . 18 (2): 193–198. дои : 10.1080/14697688.2017.1403131 . ISSN 1469-7688 . S2CID 158619662 .

[4] Ризою, Мариан-Андрей; Мишра, Свапнил; Конг, Цюй; Карман, Марк; Се, Лексинг (2018). «СИР-Хоукс: связь моделей эпидемий и процессов Хокса с моделями диффузии в конечных популяциях». Материалы конференции World Wide Web 2018 года по Всемирной паутине — WWW '18 . стр. 419–428. arXiv : 1711.01679 . дои : 10.1145/3178876.3186108 . S2CID 195346881 .

[5] Квон, Чунхён; Чжэн, Инцай; Джун, Микён (2023). «Гибкие пространственно-временные модели процесса Хоукса для возникновения землетрясений» . Пространственная статистика . 54 : 100728. arXiv : 2210.08053 . Бибкод : 2023SpaSt..5400728K . дои : 10.1016/j.spasta.2023.100728 . S2CID 252917746 .

[6] Тенч, Стивен; Фрай, Ханна; Гилл, Пол (2016). «Пространственно-временные закономерности использования СВУ Временной Ирландской республиканской армией» . Европейский журнал прикладной математики . 27 (3): 377–402. дои : 10.1017/S0956792515000686 . ISSN 0956-7925 . S2CID 53692006 .

[7] Лауб, Патрик Дж.; Таймре, Томас; Поллетт, Филип К. (2015). «Процессы Хокса». arXiv : 1507.02822 [ мат.PR ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория