Необязательная теорема об остановке

Не путать с оптимальной остановкой .

В теории вероятностей необязательная теорема остановки (или иногда теорема выборки Дуба для американского вероятностного специалиста Джозефа Дуба ) гласит, что при определенных условиях ожидаемое значение мартингейла необязательная в момент остановки равно его первоначальному ожидаемому значению. Поскольку мартингалы можно использовать для моделирования богатства игрока, участвующего в честной игре, необязательная теорема остановки гласит, что в среднем ничего нельзя получить, остановив игру на основе имеющейся на данный момент информации (т. е. без заглядывания в будущее). ). Для того чтобы этот результат был верным, необходимы определенные условия. В частности, теорема применима к стратегиям удвоения .

Необязательная останавливающая теорема является важным инструментом математических финансов в контексте фундаментальной теоремы ценообразования активов .

Заявление

Ниже представлена ​​версия теоремы для дискретного времени: $\mathbb {N}$₀ обозначает набор натуральных целых чисел, включая ноль.

Пусть X = ( X _t ) _{t ∈ $\mathbb {N}$0} с дискретным временем — мартингал , а τ — время остановки со значениями в $\mathbb {N}$₀ ∪ {∞ }, как относительно фильтрации ( F _t ) _{t ∈ $\mathbb {N}$0} . Предположим, что выполнено одно из следующих трех условий:

( a ) Время остановки τ ограничено почти наверняка , т. е. существует константа c ∈ $\mathbb {N}$ такой, что τ ≤ c как

( б ) Время остановки τ имеет конечное математическое ожидание, а условные ожидания абсолютного значения приращений мартингала почти наверняка ограничены, точнее, $\mathbb {E} [\tau ]<\infty$ и существует константа c такая, что $\mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c$ почти наверняка в событии { τ > t } для всех t ∈ $\mathbb {N}$₀ .

( c ) Существует константа c такая, что | Икс _{т ∧ τ} | ≤ c, как и для всех t ∈ $\mathbb {N}$₀ , где ∧ обозначает минимальный оператор .

Тогда X _τ — почти наверняка корректно определенная случайная величина и $\mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].$

Аналогично, если случайный процесс X = ( X _t ) _{t ∈ $\mathbb {N}$0} является субмартингалом или супермартингалом и выполнено одно из приведенных выше условий, тогда

$\mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}],$

для субмартингала и

$\mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}],$

для супермартингейла.

Примечание

При условии ( c ) возможно, что τ = ∞ произойдет с положительной вероятностью. В этом событии X _τ определяется как почти наверняка существующий поточечный предел ( X _t ) _{t ∈ $\mathbb {N}$0} , подробности см. в доказательстве ниже.

Приложения

• Необязательная теорема об остановке может использоваться для доказательства невозможности успешных стратегий ставок для игрока с конечным сроком жизни (что дает условие ( a )) или ограничение казино на ставки (условие ( b )). Предположим, что игрок может поставить до c долларов на честное подбрасывание монеты 1, 2, 3 и т. д., выиграв свою ставку, если монета выпадет орлом, и проиграв ее, если монета выпадет решкой. Предположим далее, что он может выйти из игры, когда пожелает, но не может предсказать исход еще не состоявшейся игры. Тогда состояние игрока во времени представляет собой мартингейл, а момент τ , в который он решает выйти (или разоряется и вынужден выйти), является временем остановки. Итак, теорема гласит, что E[ X _τ ] = E[ X ₀ ] . Другими словами, игрок уходит в среднем с той же суммой денег , что и в начале игры. (Тот же результат имеет место, если игрок вместо того, чтобы иметь лимит на отдельные ставки, имеет конечный лимит на свою кредитную линию или на то, как далеко он может зайти в долгах, хотя это легче показать с помощью другой версии теоремы. )
• Предположим, что случайное блуждание начинается с ≥ 0 и увеличивается или уменьшается на единицу с равной вероятностью на каждом шаге. Предположим далее, что прогулка останавливается, если она достигает 0 или m ≥ a ; время, в которое это происходит впервые, является временем остановки. Если известно, что ожидаемое время окончания прогулки конечно (скажем, из теории цепей Маркова ), необязательная теорема об остановке предсказывает, что ожидаемая позиция остановки равна начальной позиции a . Решение a = pm + (1 – p )0 для вероятности p того, что прогулка достигнет m до 0, дает p = a / m .
• Теперь рассмотрим случайное блуждание X , которое начинается с 0 и заканчивается, если оно достигает – m или + m , и используйте Y _n = X _n ² – н мартингейл из раздела примеров . Если τ — это время, в которое X впервые достигает ± m , то 0 = E[ Y ₀ ] = E[ Y _τ ] = m ² – Е[τ] . Это дает E[ τ ] = m ² .
• Однако необходимо позаботиться о том, чтобы одно из условий теоремы выполнялось. Например, предположим, что в последнем примере вместо этого использовалось «одностороннее» время остановки, так что остановка происходила только в + m , а не в — m . Следовательно, значение X в этот момент остановки будет равно m . Следовательно, математическое ожидание E[ X _τ ] также должно быть m , что, по-видимому, противоречит теореме, которая дает E[ X _τ ] = 0 . Неудача необязательной теоремы об остановке показывает, что все три условия не выполняются.

Доказательство

Пусть X ^т обозначаем остановленный процесс , это тоже мартингал (или субмартингал или супермартингал соответственно). При условии ( a ) или ( b ) случайная величина X _τ определена корректно. При условии ( c ) остановленный процесс X ^т ограничен, следовательно, по теореме Дуба о мартингальной сходимости он поточечно сходится к случайной величине, которую мы называем X _τ .

Если условие ( c ) выполнено, то остановленный процесс X ^т ограничен постоянной случайной величиной M := c . В противном случае запись остановленного процесса как

$X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},$

дает | Х _т ^т | ≤ M для всех t ∈ $\mathbb {N}$₀ , где

$M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}$.

По теореме монотонной сходимости

$\mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}$.

Если условие ( a ) выполнено, то этот ряд имеет только конечное число ненулевых членов, следовательно, M интегрируемо.

Если условие ( b ) выполнено, то мы продолжаем, вставляя условное ожидание и используя тот факт, что событие { τ > s } известно в момент времени s (обратите внимание, что τ предполагается как время остановки по отношению к фильтрации), следовательно,

${\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}$

где представление ожидаемого значения неотрицательных целочисленных случайных величин для последнего равенства используется .

Следовательно, при любом из трех условий теоремы в остановленном процессе доминирует интегрируемая случайная величина M . Поскольку остановленный процесс X ^т почти наверняка сходится к X _τ , из теоремы о доминируемой сходимости следует

$\mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].$

По мартингальному свойству остановленного процесса

$\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},$

следовательно

$\mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].$

Аналогично, если X является субмартингалом или супермартингалом соответственно, замените равенство в двух последних формулах на подходящее неравенство.

Ссылки

1. Гриммет, Джеффри Р.; Стирзакер, Дэвид Р. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 491–495 . ISBN  9780198572220 .
2. Бхаттачарья, Раби; Уэймир, Эдвард К. (2007). Базовый курс теории вероятностей . Спрингер. стр. 43–45. ISBN  978-0-387-71939-9 .

Внешние ссылки

• Необязательная теорема Дуба об остановке