Теоремы о мартингальной сходимости Дуба

В математике , в частности, в теории случайных процессов , мартингальные теоремы Дуба представляют собой сборник результатов о супермартингалов пределах , названный в честь американского математика Джозефа Л. Дуба . ^[1] Неформально, теорема о сходимости мартингала обычно относится к результату, согласно которому любой супермартингал, удовлетворяющий определенному условию ограниченности, должен сходиться. Можно думать о супермартингалах как о случайных величинах, аналогах невозрастающих последовательностей; с этой точки зрения теорема о мартингальной сходимости является случайной величины аналогом теоремы о монотонной сходимости , которая утверждает, что любая ограниченная монотонная последовательность сходится. Существуют симметричные результаты для субмартингалов, аналогичных неубывающим последовательностям.

Утверждение для мартингалов дискретного времени

Общая формулировка теоремы сходимости мартингалов для мартингалов с дискретным временем состоит в следующем. Позволять $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ быть супермартингейлом. Предположим, что супермартингал ограничен в том смысле, что

\sup _{t\in \mathbf {N} }\operatorname {E} [X_{t}^{-}]<\infty

где $X_{t}^{-}$ это отрицательная часть $X_{t}$ , определяемый ${\textstyle X_{t}^{-}=-\min(X_{t},0)}$ . Тогда последовательность почти наверняка сходится к случайной величине $X$ с конечным ожиданием.

Существует симметричное утверждение для субмартингалов с ограниченным математическим ожиданием положительной части. Супермартингал является стохастическим аналогом невозрастающей последовательности, а условие теоремы аналогично условию теоремы о монотонной сходимости об ограниченности снизу последовательности. Условие ограниченности мартингала является существенным; например, беспристрастный $\pm 1$ случайное блуждание является мартингейлом, но не сходится.

Интуитивно понятно, что есть две причины, по которым последовательность может не сходиться. Оно может уходить в бесконечность или может колебаться. Условие ограниченности не позволяет первому произойти. Последнее невозможно по «азартной» аргументации. В частности, рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой в момент времени $t$ , акция имеет цену $X_{t}$ . Не существует стратегии покупки и продажи акций с течением времени, когда в этой игре всегда имеется неотрицательное количество акций, которое имеет положительную ожидаемую прибыль. Причина в том, что в каждый момент времени ожидаемое изменение цены акции, учитывая всю прошлую информацию, не превышает нуля (по определению супермартингейла). Но если бы цены колебались, не сходясь, тогда существовала бы стратегия с положительной ожидаемой прибылью: свободно покупать по низкой цене и продавать по высокой. Этот аргумент можно сделать строгим, чтобы доказать результат.

Эскиз доказательства

Доказательство упрощается за счет (более сильного) предположения о равномерной ограниченности супермартингала; то есть существует константа $M$ такой, что $|X_{n}|\leq M$ всегда держит. В случае, если последовательность $X_{1},X_{2},\dots$ не сходится, то $\liminf X_{n}$ и $\limsup X_{n}$ различаются. Если также последовательность ограничена, то существуют некоторые действительные числа $a$ и $b$ такой, что $a<b$ и последовательность пересекает интервал $[a,b]$ бесконечно часто. То есть последовательность в конечном итоге меньше, чем $a$ , а в более позднее время превышает $b$ , а в еще более позднее время меньше, чем $a$ , и так до бесконечности. Эти периоды, когда последовательность начинается ниже $a$ и позже превышает $b$ называются «апкроссингами».

Рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой в момент времени $t$ , можно купить или продать акции по цене $X_{t}$ . С одной стороны, из определения супермартингала можно показать, что для любого $N\in \mathbf {N}$ не существует стратегии, которая поддерживала бы неотрицательное количество акций и имела положительную ожидаемую прибыль после игры в эту игру на $N$ шаги. С другой стороны, если цены пересекают фиксированный интервал $[a,b]$ очень часто хорошо работает следующая стратегия: покупать акции, когда цена падает ниже $a$ и продать его, когда цена превысит $b$ . Действительно, если $u_{N}$ количество апкроссингов в последовательности по времени $N$ , то прибыль в момент времени $N$ по крайней мере $(b-a)u_{N}-2M$ : каждый апкроссинг обеспечивает как минимум $b-a$ прибыль, и если последним действием была «покупка», то в худшем случае цена покупки была $a\leq M$ и текущая цена $-M$ . Но любая стратегия рассчитана максимум на прибыль. $0$ , так обязательно

\operatorname {E} {\big [}u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}}.

По теореме о монотонной сходимости ожиданий это означает, что

\operatorname {E} {\big [}\lim _{N\to \infty }u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}},

поэтому ожидаемое количество апкроссингов во всей последовательности конечно. Отсюда следует, что событие бесконечного перехода для интервала $[a,b]$ происходит с вероятностью $0$ . Союзом, связанным над всеми рациональными $a$ и $b$ , с вероятностью $1$ , не существует интервала, который пересекается бесконечно часто. Если для всех $a,b\in \mathbf {Q}$ существует конечное число пересечений интервала вверх $[a,b]$ , то нижний и верхний пределы последовательности должны совпадать, поэтому последовательность должна сходиться. Это показывает, что мартингал сходится с вероятностью $1$ .

Нарушение сходимости в среднем

В условиях приведенной выше теоремы о сходимости мартингала не обязательно верно, что супермартингал $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ сходится в среднем (т.е. что $\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [|X_{n}-X|]=0$ ).

В качестве примера: ^[2] позволять $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ быть $\pm 1$ случайная прогулка с $X_{0}=1$ . Позволять $N$ быть в первый раз, когда $X_{n}=0$ , и пусть $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ быть случайным процессом, определяемым $Y_{n}:=X_{\min(N,n)}$ . Затем $N$ это время остановки по отношению к мартингейлу $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ , так $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ также является мартингейлом, называемым остановленным мартингейлом . В частности, $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ является супермартингалом, ограниченным снизу, поэтому по теореме о сходимости мартингала он почти наверняка поточечно сходится к случайной величине $Y$ . Но если $Y_{n}>0$ затем $Y_{n+1}=Y_{n}\pm 1$ , так $Y$ почти наверняка равен нулю.

Это означает, что $\operatorname {E} [Y]=0$ . Однако, $\operatorname {E} [Y_{n}]=1$ для каждого $n\geq 1$ , с $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ это случайное блуждание, которое начинается в $1$ и впоследствии делает средненулевое движение (поочередно обратите внимание, что $\operatorname {E} [Y_{n}]=\operatorname {E} [Y_{0}]=1$ с $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ это мартингейл). Поэтому $(Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ не может сойтись к $Y$ в смысле. Более того, если $(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ должны были сходиться в среднем к любой случайной величине $R$ , то некоторая подпоследовательность сходится к $R$ почти наверняка. Итак, согласно приведенному выше аргументу $R=0$ почти наверняка, что противоречит сходимости в среднем.

Утверждения для общего случая

В дальнейшем $(\Omega ,F,F_{*},\mathbf {P} )$ будет фильтрованным вероятностным пространством , где $F_{*}=(F_{t})_{t\geq 0}$ , и $N:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R}$ будет непрерывным справа супермартингалом относительно фильтрации $F_{*}$ ; другими словами, для всех $0\leq s\leq t<+\infty$ ,

N_{s}\geq \operatorname {E} {\big [}N_{t}\mid F_{s}{\big ]}.

Первая теорема Дуба о сходимости мартингала

Первая теорема о сходимости мартингала Дуба обеспечивает достаточное условие для случайных величин. $N_{t}$ иметь предел как $t\to +\infty$ в точечном смысле, т.е. для каждого $\omega$ в пространстве выборки $\Omega$ индивидуально.

Для $t\geq 0$ , позволять $N_{t}^{-}=\max(-N_{t},0)$ и предположим, что

\sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}N_{t}^{-}{\big ]}<+\infty .

Тогда поточечный предел

N(\omega )=\lim _{t\to +\infty }N_{t}(\omega )

существует и конечен для $\mathbf {P}$ - почти все $\omega \in \Omega$ . ^[3]

Вторая теорема о сходимости мартингала Дуба

Важно отметить, что сходимость в первой мартингальной теореме Дуба о сходимости является точечной, а не равномерной и не связана со сходимостью в среднем квадрате или даже в любом L ^п космос . Чтобы получить сходимость в L ¹ (т.е. сходимость в среднем ), требуется равномерная интегрируемость случайных величин $N_{t}$ . По неравенству Чебышева сходимость в L ¹ подразумевает сходимость по вероятности и сходимость по распределению.

Следующие действия эквивалентны:

$(N_{t})_{t>0}$ , равномерно интегрируемо т.е.

\lim _{C\to \infty }\sup _{t>0}\int _{\{\omega \in \Omega \,\mid \,|N_{t}(\omega )|>C\}}\left|N_{t}(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=0;

существует интегрируемая случайная величина $N\in L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )$ такой, что $N_{t}\to N$ как $t\to \infty$ оба $\mathbf {P}$ - почти наверняка и в $L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )$ , то есть

\operatorname {E} \left[\left|N_{t}-N\right|\right]=\int _{\Omega }\left|N_{t}(\omega )-N(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )\to 0{\text{ as }}t\to +\infty .

Восходящее неравенство Дуба

Следующий результат, называемый неравенством Дуба о апкроссинге или, иногда, леммой Дуба о апкроссинге , используется при доказательстве теорем о мартингальной сходимости Дуба. ^[3] Аргумент «азартной игры» показывает, что для равномерно ограниченных супермартингалов число апкроссингов ограничено; лемма об апкроссинге обобщает этот аргумент на супермартингалы с ограниченным ожиданием их отрицательных частей.

Позволять $N$ быть натуральным числом. Позволять $(X_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ быть супермартингалом относительно фильтрации $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ . Позволять $a$ , $b$ быть двумя действительными числами с $a<b$ . Определите случайные величины $(U_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ так что $U_{n}$ - максимальное количество непересекающихся интервалов $[n_{i_{1}},n_{i_{2}}]$ с $n_{i_{2}}\leq n$ , такой, что $X_{n_{i_{1}}}<a<b<X_{n_{i_{2}}}$ . Они называются апкроссингами относительно интервала $[a,b]$ . Затем

(b-a)\operatorname {E} [U_{n}]\leq \operatorname {E} [(X_{n}-a)^{-}].\quad

где $X^{-}$ это отрицательная часть $X$ , определяемый ${\textstyle X^{-}=-\min(X,0)}$ . ^[4]^[5]

Приложения

Сходимость в L ^п

Позволять $M:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R}$ быть непрерывным мартингалом таким, что

\sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}{\big |}M_{t}{\big |}^{p}{\big ]}<+\infty

для некоторых $p>1$ . Тогда существует случайная величина $M\in L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )$ такой, что $M_{t}\to M$ как $t\to +\infty$ оба $\mathbf {P}$ - почти наверняка и в $L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )$ .

Утверждение для мартингалов с дискретным временем по существу идентично, с той очевидной разницей, что предположение о непрерывности больше не требуется.

Закон нуля-единицы Леви

Теоремы Дуба о мартингальной сходимости подразумевают, что условные ожидания также обладают свойством сходимости.

Позволять $(\Omega ,F,\mathbf {P} )$ — вероятностное пространство и пусть $X$ быть случайной величиной в $L^{1}$ . Позволять $F_{*}=(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }$ быть фильтрацией любой $F$ и определить $F_{\infty }$ быть минимальной σ -алгеброй, порожденной $(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }$ . Затем

\operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty

оба $\mathbf {P}$ - почти наверняка и в $L^{1}$ .

Этот результат обычно называют законом нуля-единицы Леви или восходящей теоремой Леви . Причина названия в том, что если $A$ это событие в $F_{\infty }$ , то теорема гласит, что $\mathbf {P} [A\mid F_{k}]\to \mathbf {1} _{A}$ почти наверняка, т. е. предел вероятностей равен 0 или 1. Говоря простым языком, если мы постепенно изучаем всю информацию, которая определяет исход события, то мы постепенно станем уверены в том, каким будет результат. Это звучит почти как тавтология , но результат все равно нетривиален. Например, из него легко следует закон нуля–единицы Колмогорова , поскольку он гласит, что для любого хвостового события A мы должны иметь $\mathbf {P} [A]=\mathbf {1} _{A}$ почти наверняка, следовательно $\mathbf {P} [A]\in \{0,1\}$ .

Точно так же у нас есть нисходящая теорема Леви :

Позволять $(\Omega ,F,\mathbf {P} )$ — вероятностное пространство и пусть $X$ быть случайной величиной в $L^{1}$ . Позволять $(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }$ — любая убывающая последовательность субсигма-алгебр $F$ и определить $F_{\infty }$ быть перекрёстком. Затем

\operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty