Случайное блуждание в непрерывном времени

В математике случайное блуждание в непрерывном времени ( CTRW ) — это обобщение случайного блуждания , при котором блуждающая частица ожидает случайное время между прыжками. Это стохастический скачок с произвольным распределением длин переходов и времен ожидания. В более общем плане это можно рассматривать как частный случай процесса обновления Маркова .

Мотивация

CTRW был представлен Montroll и Weiss. как обобщение процессов физической диффузии для эффективного описания аномальной диффузии , т. е. супер- и субдиффузионного случаев. Эквивалентная формулировка CTRW дается обобщенными основными уравнениями . ​​связь CTRW с уравнениями диффузии с дробными производными по времени . Установлена Аналогичным образом, уравнения дробной диффузии во времени и пространстве можно рассматривать как CTRW с непрерывно распределенными скачками или как континуальные аппроксимации CTRW на решетках.

Формулировка

Простая формулировка CTRW заключается в рассмотрении случайного процесса. $X(t)$ определяется

$X(t)=X_{0}+\sum _{i=1}^{N(t)}\Delta X_{i},$

чьи приращения $\Delta X_{i}$ являются случайными переменными iid , принимающими значения в домене $\Omega$ и $N(t)$ это количество скачков в интервале $(0,t)$. Вероятность того, что процесс примет значение $X$ во время $t$ затем дается

$P(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n,t)P_{n}(X).$

Здесь $P_{n}(X)$ – вероятность того, что процесс примет значение $X$ после $n$ прыжки, и $P(n,t)$ это вероятность наличия $n$ прыгает через раз $t$.

Формула Монтролля – Вейсса

Обозначим через $\tau$ время ожидания между двумя прыжками $N(t)$ и по $\psi (\tau )$ его распространение. Преобразование Лапласа ​ $\psi (\tau )$ определяется

${\tilde {\psi }}(s)=\int _{0}^{\infty }d\tau \,e^{-\tau s}\psi (\tau ).$

Аналогично характеристическая функция распределения скачков $f(\Delta X)$ задается преобразованием Фурье :

${\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }d(\Delta X)\,e^{ik\Delta X}f(\Delta X).$

Можно показать, что преобразование Лапласа–Фурье вероятности $P(X,t)$ дается

${\hat {\tilde {P}}}(k,s)={\frac {1-{\tilde {\psi }}(s)}{s}}{\frac {1}{1-{\tilde {\psi }}(s){\hat {f}}(k)}}.$

Вышеуказанное называется формулой Монтролля – Вейсса .